Ejercicios Resueltos de Factorización por Término Común

Analizamos los componentes del polinomio:

• Coeficientes: Ambos términos tienen como coeficiente un \( 1 \) invisible, así que el MCD es \( 1 \).
• Letras comunes: La variable \( x \) se repite en ambos términos. Elegimos la que tiene el menor exponente, que es \( x^2 \).

Nuestro Factor Común Monomio es \( x^2 \). Ahora dividimos cada término original entre este factor:

• Primer término: \( {\Large \frac{x^3}{x^2}} = x^{3-2} = x \)
• Segundo término: \( {\Large \frac{x^2}{x^2}} = 1 \)

Colocamos el factor común afuera y los resultados de las divisiones dentro del paréntesis:

Resultado final: \[ x^2(x + 1) \]

Buscamos elementos repetidos:

• Coeficientes: Los números son \( 4 \) y \( 12 \). El Máximo Común Divisor entre ellos es \( 4 \) (ya que \( 4 \cdot 1 = 4 \) y \( 4 \cdot 3 = 12 \)).
• Letras comunes: La variable \( x \) solo aparece en el primer término, por lo tanto, no hay factor común de letras.

Nuestro factor común es simplemente el número \( 4 \). Dividimos los términos:

• Sustitución lineal: \( {\Large \frac{4x}{4}} = x \)
• División numérica: \( {\Large \frac{12}{4}} = 3 \)

Resultado final: \[ 4(x + 3) \]

Evaluamos números y letras por separado:

• MCD numérico: El número más grande que divide exactamente a \( 5 \) y \( 15 \) es \( 5 \).
• Menor exponente de la letra: La variable \( y \) está presente en ambos bloques. El menor exponente entre \( 4 \) y \( 2 \) es \( 2 \), elegimos \( y^2 \).

El Factor Común Monomio es \( 5y^2 \). Ejecutamos las divisiones algebraicas correspondientes empleando leyes de exponentes:

• Término 1: \( {\Large \frac{5y^4}{5y^2}} = 1 \cdot y^{4-2} = y^2 \)
• Término 2: \( {\Large \frac{15y^2}{5y^2}} = 3 \cdot y^{2-2} = 3 \cdot 1 = 3 \)

Resultado final: \[ 5y^2(y^2 - 3) \]

Mapeamos las variables de los tres términos disponibles:

• Variable a: Se repite en todos. Su menor exponente visible es \( 1 \) (\( a \)).
• Variable b: Se repite en todos. Su menor exponente visible es \( 1 \) (\( b \)).

El factor común de este trinomio es el bloque compuesto \( ab \). Procedemos a realizar las tres divisiones:

• \( {\Large \frac{a^2b}{ab}} = a^{2-1}b^{1-1} = a \cdot 1 = a \)
• \( {\Large \frac{ab^2}{ab}} = a^{1-1}b^{2-1} = 1 \cdot b = b \)
• \( {\Large \frac{ab}{ab}} = 1 \)

Unimos las piezas respetando los signos originales del trinomio:

Resultado final: \[ ab(a + b - 1) \]

Calculamos con cuidado los componentes:

• MCD de 12, 18 y 24: El divisor común más grande de estos tres números es el \( 6 \).
• Letra común: La variable \( x \) aparece en todos lados. El exponente más pequeño es \( 2 \), tomamos \( x^2 \).

El factor común monomio es \( 6x^2 \). Dividimos término a término:

• \( {\Large \frac{12x^3}{6x^2}} = 2 \cdot x^{3-2} = 2x \)
• \( {\Large \frac{18x^5}{6x^2}} = 3 \cdot x^{5-2} = 3x^3 \)
• \( {\Large \frac{24x^2}{6x^2}} = 4 \cdot x^{2-2} = 4 \)

Resultado final: \[ 6x^2(2x - 3x^3 + 4) \]

¡Mucho cuidado aquí! Analicemos detenidamente las letras:

• La letra \( y \) solo está en el primer término. No es común.
• La letra \( z \) solo está en el segundo término. No es común.
• La letra \( x \) está presente en los tres términos. Su menor potencia es \( x^2 \).

Por ende, el factor común es única y exclusivamente \( x^2 \). Pasamos a dividir:

• \( {\Large \frac{x^2y}{x^2}} = x^{2-2}y = y \)
• \( {\Large \frac{x^3z}{x^2}} = x^{3-2}z = xz \)
• \( {\Large \frac{x^4}{x^2}} = x^{4-2} = x^2 \)

Resultado final: \[ x^2(y + xz + x^2) \]

Evaluamos los elementos de la expresión:

• Coeficientes: Los números \( 7 \), \( 3 \) y \( 2 \) son números primos. No comparten ningún divisor común más allá del \( 1 \). No extraemos número.
• Letras: La letra \( m \) es común. El menor exponente es el del último término: \( m^3 \).

El factor común es \( m^3 \). Realizamos la división restando exponentes:

• \( {\Large \frac{7m^6}{m^3}} = 7 \cdot m^{6-3} = 7m^3 \)
• \( {\Large \frac{3m^4}{m^3}} = 3 \cdot m^{4-3} = 3m \)
• \( {\Large \frac{2m^3}{m^3}} = 2 \cdot m^{3-3} = 2 \)

Resultado final: \[ m^3(7m^3 - 3m + 2) \]

Buscamos los mínimos comunes denominadores de cada variable:

• MCD de 8 y 12: Es \( 4 \).
• Variable a: Menor exponente es \( 3 \rightarrow a^3 \)
• Variable b: Menor exponente es \( 3 \rightarrow b^3 \)
• Variable c: Menor exponente es \( 2 \rightarrow c^2 \)

El Factor Común Monomio definitivo es \( 4a^3b^3c^2 \). Al realizar la división lineal:

• Término 1: \( {\Large \frac{8a^4b^3c^2}{4a^3b^3c^2}} = 2 \cdot a^{4-3} \cdot 1 \cdot 1 = 2a \)
• Término 2: \( {\Large \frac{12a^3b^5c^4}{4a^3b^3c^2}} = 3 \cdot 1 \cdot b^{5-3} \cdot c^{4-2} = 3b^2c^2 \)

Resultado final: \[ 4a^3b^3c^2(2a + 3b^2c^2) \]

Extraemos componentes:

• MCD de 3, 6 y 3: Es \( 3 \).
• Variable común: Es \( x^2 \).

El factor común monomio es \( 3x^2 \). Nótese que este bloque es exactamente igual al tercer término del polinomio original. Hagamos las divisiones:

• \( {\Large \frac{3x^4}{3x^2}} = 1 \cdot x^{4-2} = x^2 \)
• \( {\Large \frac{6x^3}{3x^2}} = 2 \cdot x^{3-2} = 2x \)
• \( {\Large \frac{3x^2}{3x^2}} = 1 \cdot x^{2-2} = 1 \)

Es vital colocar el \( 1 \) para preservar la cantidad de términos del polinomio. Si no lo pones, la expresión se encoge y altera el valor algebraico original.

Resultado final: \[ 3x^2(x^2 + 2x - 1) \]

Analizamos las fracciones y variables:

• Fracciones: Ambas comparten el denominador \( 5 \). En los numeradores (\( 2 \) y \( 4 \)), el MCD es \( 2 \). Extraemos \( {\Large \frac{2}{5}} \).
• Variable común: El menor exponente de la \( x \) es \( x^2 \).

El factor común es \( {\Large \frac{2}{5}}x^2 \). Dividimos de forma distributiva:

• \( {\Large \frac{\frac{2}{5}x^3}{\frac{2}{5}x^2}} = 1 \cdot x^{3-2} = x \)
• \( {\Large \frac{\frac{4}{5}x^2}{\frac{2}{5}x^2}} = {\Large \frac{4}{2}} \cdot x^{2-2} = 2 \)

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{2}{5}}x^2(x + 2) \]