Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización de Término Común
La factorización por término común es el método más rápido y directo para resolver ecuaciones de segundo grado incompletas mixtas, de la forma ax² + bx = 0. Al carecer de término independiente (c = 0), podemos descomponer la expresión en un producto de factores sencillos.
¿Cómo Funciona el Método de Término Común?
Cuando una ecuación cuadrática no tiene término independiente, la variable \(x\) aparece en ambos términos. Esto nos permite extraerla como factor común:
\[ ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0 \]
Propiedad del Factor Cero
Para que el producto de dos factores sea igual a cero (\(A \cdot B = 0\)), al menos uno de los factores debe ser cero. De aquí obtenemos de forma inmediata las dos soluciones:
- Primera solución (\(x_1\)): Siempre es igual a cero: \(x_1 = 0\).
- Segunda solución (\(x_2\)): Se obtiene al despejar el binomio restante:
\[ax + b = 0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}\]
🎯 Trucos de Agilidad para la Factorización por Término Común
Aplica estos consejos para resolver este tipo de ecuaciones en cuestión de segundos:
- Anticipa la respuesta cero: En toda ecuación de la forma \(ax^2 + bx = 0\), una de las raíces siempre será \(x = 0\). No necesitas calcularla, da por sentado que esa es tu primera solución.
- Extrae también el máximo común divisor numérico: Si los coeficientes \(a\) y \(b\) son divisibles entre sí (por ejemplo, \(4x^2 + 8x = 0\)), extrae el coeficiente numérico junto con la \(x\): \(4x(x + 2) = 0\). Esto simplifica el despeje final.
- Cambia el signo si el primer término es negativo: Si tienes \(-x^2 + 5x = 0\), multiplica primero toda la ecuación por \(-1\) para obtener \(x^2 - 5x = 0\) y evitar confusiones con los signos negativos al despejar.
📝 Bloque de Práctica: 10 Casos de Ecuaciones por Término Común
Practica la extracción de término común en ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas:
Ejercicio 1: Caso Básico Positivo
Resuelve la ecuación: \[x^2 + 5x = 0\]
Factorización: Extraemos la variable \(x\) como factor común:
\[ x(x + 5) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[x_1 = 0\]
\[x + 5 = 0 \implies x_2 = -5\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = -5\).
Ejercicio 2: Caso Básico Negativo
Resuelve la ecuación: \[x^2 - 7x = 0\]
Factorización: Extraemos \(x\) como factor común:
\[ x(x - 7) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[x_1 = 0\]
\[x - 7 = 0 \implies x_2 = 7\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 7\).
Ejercicio 3: Coeficiente Numérico Común
Resuelve la ecuación: \[3x^2 - 6x = 0\]
Factorización: El MCD de 3 y 6 es 3. Extraemos \(3x\) como factor común:
\[ 3x(x - 2) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[3x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[x - 2 = 0 \implies x_2 = 2\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 2\).
Ejercicio 4: Coeficiente Principal Mayor
Resuelve la ecuación: \[2x^2 + 8x = 0\]
Factorización: Extraemos \(2x\) como factor común:
\[ 2x(x + 4) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[2x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[x + 4 = 0 \implies x_2 = -4\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = -4\).
Ejercicio 5: Coeficientes Múltiplos de Cinco
Resuelve la ecuación: \[5x^2 - 15x = 0\]
Factorización: Extraemos \(5x\) como factor común:
\[ 5x(x - 3) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[5x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[x - 3 = 0 \implies x_2 = 3\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 3\).
Ejercicio 6: Término Cuadrático Negativo
Resuelve la ecuación: \[-x^2 + 4x = 0\]
Ajuste previo: Multiplicamos toda la ecuación por \(-1\): \[x^2 - 4x = 0\]
Factorización: Extraemos \(x\) como factor común:
\[ x(x - 4) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[x_1 = 0\]
\[x - 4 = 0 \implies x_2 = 4\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 4\).
Ejercicio 7: Solución Fraccionaria
Resuelve la ecuación: \[4x^2 + 10x = 0\]
Factorización: El MCD de 4 y 10 es 2. Extraemos \(2x\) como factor común:
\[ 2x(2x + 5) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[2x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_2 = {\Large -\tfrac{5}{2}}\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = {\Large -\frac{5}{2}}\).
Ejercicio 8: Fracción Impropia
Resuelve la ecuación: \[6x^2 - 9x = 0\]
Factorización: Extraemos \(3x\) como factor común:
\[ 3x(2x - 3) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[3x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = {\Large \tfrac{3}{2}}\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = {\Large \frac{3}{2}}\).
Ejercicio 9: Ecuación Desordenada
Resuelve la ecuación: \[x^2 = 12x\]
Ajuste previo: Pasamos el término lineal al lado izquierdo e igualamos a cero: \[x^2 - 12x = 0\]
Factorización: Extraemos \(x\) como factor común:
\[ x(x - 12) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[x_1 = 0\]
\[x - 12 = 0 \implies x_2 = 12\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 12\).
Ejercicio 10: Coeficientes Primos Entre Sí
Resuelve la ecuación: \[7x^2 + 21x = 0\]
Factorización: Extraemos \(7x\) como factor común:
\[ 7x(x + 3) = 0 \]
Igualación a cero de cada factor:
\[7x = 0 \implies x_1 = 0\]
\[x + 3 = 0 \implies x_2 = -3\]
Soluciones: \(x_1 = 0\) y \(x_2 = -3\).
⚠️ Errores Comunes al Factorizar por Término Común
- Dividir toda la ecuación entre la incógnita x: En expresiones como \(x^2 = 5x\), cancelar la \(x\) en ambos lados mediante división resulta en \(x = 5\), eliminando de forma errónea la solución \(x = 0\). Siempre iguala a cero y factoriza.
- No igualar la ecuación a cero antes de factorizar: Intentar extraer factor común cuando los términos están divididos a ambos lados del signo igual suele generar errores de despeje y de signos.
- Errores de signo al extraer términos negativos: Al factorizar una expresión con signos negativos (por ejemplo, \(-3x^2 - 6x = 0\)), asegúrate de cambiar adecuadamente el signo dentro del paréntesis: \(-3x(x + 2) = 0\).
Preguntas Frecuentes
¿Por qué una de las respuestas siempre es cero en este método?
Porque al no existir término independiente, cuando la variable \(x\) vale cero, todos los términos de la ecuación se vuelven cero (\(a(0)^2 + b(0) = 0\)), cumpliendo siempre la igualdad.
¿Se puede resolver este tipo de ecuaciones con la fórmula general?
Sí, la fórmula general funciona para cualquier ecuación cuadrática considerando que \(c = 0\). Sin embargo, factorizar por término común requiere menos pasos y es mucho más rápido.
¿Qué ocurre si solo extraigo la variable "x" y no el coeficiente numérico?
Llegarás exactamente al mismo resultado. Por ejemplo, en \(4x^2 + 8x = 0\), si solo extraes \(x\), obtendrás \(x(4x + 8) = 0\). Al despejar \(4x + 8 = 0\), obtendrás \(x = -2\), exactamente la misma respuesta.
🚀 Sigue aprendiendo Ecuaciones
Explora nuestros otros subtemas:
Ecuaciones (Menú Principal)
Regresa al menú general de ecuaciones para explorar otros temas.
Ecuaciones de 2º Grado
Vuelve al índice principal para revisar la clasificación y métodos generales.
Anterior: Fórmula General
Domina el método universal para resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Siguiente: Diferencia de Cuadrados
Aprende a resolver ecuaciones incompletas puras de la forma \(ax^2 - c = 0\).