Ejercicios Resueltos del Método de Sustitución en Sistemas 2x2
El método de sustitución es una técnica algebraica que consiste en aislar una de las incógnitas en una ecuación para reemplazar su valor equivalente en la otra, transformando un sistema de dos variables en una sola ecuación fácil de resolver.
¿Cómo Funciona la Sustitución Algebraica?
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas simultáneamente puede parecer complejo porque ambas variables están mezcladas. La idea central de la sustitución es "cambiar una incógnita por su equivalente" para quedarnos con una sola variable.
La Estrategia General en 4 Pasos
- Despejar: Elige una incógnita en una de las dos ecuaciones y despéjala por completo.
- Sustituir: Reemplaza la expresión obtenida en la otra ecuación que no has usado todavía.
- Resolver: Resuelve la ecuación resultante (que ahora solo tiene una incógnita) para encontrar el valor numérico de la primera variable.
- Hallar la segunda variable: Toma ese valor numérico y reemplázalo en el despeje inicial del Paso 1 para obtener el valor de la segunda incógnita.
Ejemplo Guiado Paso a Paso
Resolvamos el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} x + 2y = 8 \quad \text{--- (Ecuación 1)} \\ 3x - y = 3 \quad \text{--- (Ecuación 2)} \end{cases} \]
Paso 1: Despejar una variable.
Observamos la Ecuación 1. La incógnita \(x\) tiene coeficiente \(1\), por lo que es facilísima de despejar:
\[ x = 8 - 2y \]
Paso 2: Sustituir en la otra ecuación.
Tomamos la Ecuación 2 y cambiamos la letra \(x\) por la expresión \((8 - 2y)\):
\[ 3(8 - 2y) - y = 3 \]
Paso 3: Resolver la ecuación de una sola variable.
Aplicamos la propiedad distributiva para romper el paréntesis y simplificamos:
\[ 24 - 6y - y = 3 \]
\[ 24 - 7y = 3 \]
\[ -7y = 3 - 24 \]
\[ -7y = -21 \implies y = \frac{-21}{-7} = 3 \]
Paso 4: Encontrar la variable restante.
Usamos el valor \(y = 3\) en la fórmula despejada del Paso 1:
\[ x = 8 - 2(3) \implies x = 8 - 6 = 2 \]
Solución Final: \(x = 2\), \(y = 3\).
🎯 Trucos de Agilidad para Ganar Tiempo
Aplica estos consejos estratégicos para resolver sistemas por sustitución mucho más rápido y sin tropezar con cálculos extensos:
- Regla de la "Variable Limpia": Busca siempre una incógnita que no tenga número delante (coeficiente \(1\) o \(-1\)). Si eliges esa variable para despejar, no tendrás que manejar fracciones molestas en los primeros pasos.
- Usa paréntesis protectores: Al realizar la sustitución, coloca la expresión equivalente siempre dentro de un paréntesis. Esto evitará que cometas errores graves con los signos negativos o la multiplicación distributiva.
- Comprobación rápida mental: Al terminar, reemplaza ambos números en la ecuación que no usaste al final para ver si la igualdad se cumple exactamente.
📝 Bloque de Práctica: 12 Casos de Resolución de Sistemas con Sustitución
Intenta resolver cada ejercicio por tu cuenta usando el método de sustitución y luego despliega la pestaña para revisar el desarrollo algebraico completo.
Ejercicio 1: Despeje Directo Básico
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. La variable \(y\) ya se encuentra totalmente despejada en la primera ecuación (\(y = 3x\)). Sustituimos en la segunda:
\[ 2x + (3x) = 10 \]
\[ 5x = 10 \implies x = 2 \]
2. Hallamos \(y\) usando el valor de \(x\):
\[ y = 3(2) = 6 \]
Resultado: \(x = 2\), \(y = 6\).
Ejercicio 2: Coeficiente Uno en la Primera Ecuación
Encuentra los valores de las incógnitas:
\[ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x = 7 - y \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2(7 - y) - 3y = 4 \]
\[ 14 - 2y - 3y = 4 \]
\[ 14 - 5y = 4 \]
\[ -5y = 4 - 14 \]
\[ -5y = -10 \implies y = 2 \]
3. Calculamos \(x\):
\[ x = 7 - (2) = 5 \]
Resultado: \(x = 5\), \(y = 2\).
Ejercicio 3: Coeficiente Positivo al Despejar
Resuelve por sustitución:
\[ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x + 2y = 21 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(x\) en la primera ecuación pasando \(-y\) sumando al otro lado:
\[ x = 2 + y \]
2. Reemplazamos en la segunda ecuación:
\[ 3(2 + y) + 2y = 21 \]
\[ 6 + 3y + 2y = 21 \]
\[ 6 + 5y = 21 \]
\[ 5y = 15 \implies y = 3 \]
3. Calculamos \(x\):
\[ x = 2 + (3) = 5 \]
Resultado: \(x = 5\), \(y = 3\).
Ejercicio 4: Sustitución de Variable Secundaria
Halla los valores de \(x\) e \(y\):
\[ \begin{cases} 4x + y = 9 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(y\) en la primera ecuación por tener coeficiente \(1\):
\[ y = 9 - 4x \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x + 3(9 - 4x) = 7 \]
\[ 2x + 27 - 12x = 7 \]
\[ -10x = 7 - 27 \]
\[ -10x = -20 \implies x = 2 \]
3. Calculamos \(y\):
\[ y = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1 \]
Resultado: \(x = 2\), \(y = 1\).
Ejercicio 5: Sistema con Números Negativos
Resuelve la siguiente estructura:
\[ \begin{cases} -x + 2y = 5 \\ 3x - y = -5 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. En la segunda ecuación, despejamos \(y\):
\[ 3x + 5 = y \implies y = 3x + 5 \]
2. Sustituimos la expresión de \(y\) en la primera ecuación:
\[ -x + 2(3x + 5) = 5 \]
\[ -x + 6x + 10 = 5 \]
\[ 5x = 5 - 10 \]
\[ 5x = -5 \implies x = -1 \]
3. Calculamos \(y\):
\[ y = 3(-1) + 5 = -3 + 5 = 2 \]
Resultado: \(x = -1\), \(y = 2\).
Ejercicio 6: Términos Desordenados
Organiza y resuelve el sistema:
\[ \begin{cases} y - 2x = 3 \\ 5x - 2y = -8 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(y\) directamente en la primera ecuación:
\[ y = 2x + 3 \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 5x - 2(2x + 3) = -8 \]
\[ 5x - 4x - 6 = -8 \]
\[ x - 6 = -8 \]
\[ x = -8 + 6 \implies x = -2 \]
3. Calculamos \(y\):
\[ y = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \]
Resultado: \(x = -2\), \(y = -1\).
Ejercicio 7: Términos Independientes Iguales
Resuelve el siguiente ejercicio:
\[ \begin{cases} 3x + y = 13 \\ 2x + 5y = 13 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y = 13 - 3x \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x + 5(13 - 3x) = 13 \]
\[ 2x + 65 - 15x = 13 \]
\[ -13x = 13 - 65 \]
\[ -13x = -52 \]
\[ \implies x = \frac{-52}{-13} = 4 \]
3. Calculamos \(y\):
\[ y = 13 - 3(4) = 13 - 12 = 1 \]
Resultado: \(x = 4\), \(y = 1\).
Ejercicio 8: Despeje Simple
Encuentra el valor numérico de la solución:
\[ \begin{cases} 2x + y = 0 \\ 5x - 3y = 11 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y = -2x \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 5x - 3(-2x) = 11 \]
\[ 5x + 6x = 11 \]
\[ 11x = 11 \implies x = 1 \]
3. Calculamos \(y\):
\[ y = -2(1) = -2 \]
Resultado: \(x = 1\), \(y = -2\).
Ejercicio 9: Solución con Valores Iguales
Resuelve el sistema por sustitución:
\[ \begin{cases} x - 7y = -6 \\ 2x + 6y = 8 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos \(x\) en la primera ecuación:
\[ x = 7y - 6 \]
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2(7y - 6) + 6y = 8 \]
\[ 14y - 12 + 6y = 8 \]
\[ 20y = 8 + 12 \]
\[ 20y = 20 \implies y = 1 \]
3. Calculamos \(x\):
\[ x = 7(1) - 6 = 7 - 6 = 1 \]
Resultado: \(x = 1\), \(y = 1\).
Ejercicio 10: Coeficientes Mayores
Resuelve el siguiente sistema mediante el método de sustitución:
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x + 2y = 13 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos la variable \(x\) en la primera ecuación:
\[ 2x = 12 - 3y \implies x = \frac{12 - 3y}{2} \]
2. Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[ 3\left(\frac{12 - 3y}{2}\right) + 2y = 13 \]
3. Multiplicamos la fracción por el numerador \(3\):
\[ \frac{36 - 9y}{2} + 2y = 13 \]
4. Para eliminar el denominador \(2\), multiplicamos todos los términos de la ecuación por \(2\):
\[ 2 \cdot \left(\frac{36 - 9y}{2}\right) + 2 \cdot (2y) = 2 \cdot (13) \]
\[ (36 - 9y) + 4y = 26 \]
5. Agrupamos términos semejantes y despejamos \(y\):
\[ 36 - 5y = 26 \]
\[ -5y = 26 - 36 \]
\[ -5y = -10 \implies y = \frac{-10}{-5} = 2 \]
6. Calculamos \(x\) usando el despeje del Paso 1:
\[ x = \frac{12 - 3(2)}{2} \]
\[ = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Resultado: \(x = 3\), \(y = 2\).
Ejercicio 11: Coeficientes Mayores con Simplificación de Fracción
Encuentra los valores de \(x\) e \(y\) mediante sustitución:
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 2 \\ 2x + 5y = 27 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos la variable \(x\) en la segunda ecuación (por tener el coeficiente más bajo, \(2\)):
\[ 2x = 27 - 5y \implies x = \frac{27 - 5y}{2} \]
2. Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:
\[ 4\left(\frac{27 - 5y}{2}\right) - 3y = 2 \]
3. Simplificamos el multiplicador \(4\) con el denominador \(2\) (\(4 \div 2 = 2\)):
\[ 2(27 - 5y) - 3y = 2 \]
4. Aplicamos la propiedad distributiva para romper el paréntesis:
\[ 54 - 10y - 3y = 2 \]
\[ 54 - 13y = 2 \]
5. Despejamos la variable \(y\):
\[ -13y = 2 - 54 \]
\[ -13y = -52 \implies y = \frac{-52}{-13} = 4 \]
6. Calculamos \(x\) reemplazando \(y = 4\) en el despeje del Paso 1:
\[ x = \frac{27 - 5(4)}{2} \]
\[ = \frac{27 - 20}{2} = \frac{7}{2} \]
Resultado: \(x = {\Large \frac{7}{2}}\), \(y = 4\).
Ejercicio 12: Coeficientes Enteros Mayores a Uno
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Despejamos la variable \(y\) en la segunda ecuación:
\[ 5x - 4 = 2y \implies y = \frac{5x - 4}{2} \]
2. Sustituimos la expresión en la primera ecuación:
\[ 3x + 4\left(\frac{5x - 4}{2}\right) = 18 \]
3. Simplificamos el factor \(4\) con el denominador \(2\) (\(4 \div 2 = 2\)):
\[ 3x + 2(5x - 4) = 18 \]
4. Distribuimos el multiplicador \(2\) sobre el paréntesis:
\[ 3x + 10x - 8 = 18 \]
\[ 13x - 8 = 18 \]
5. Despejamos la variable \(x\):
\[ 13x = 18 + 8 \]
\[ 13x = 26 \implies x = \frac{26}{13} = 2 \]
6. Calculamos \(y\) usando el despeje del Paso 1:
\[ y = \frac{5(2) - 4}{2} \]
\[ = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Resultado: \(x = 2\), \(y = 3\).
⚠️ Errores comunes al Usar Sustitución
- Sustituir en la misma ecuación despejada: Si despejas la Ecuación 1 e ingresas el valor de vuelta en la misma Ecuación 1, llegarás a una expresión del tipo \(0 = 0\). La sustitución siempre se hace en la otra ecuación.
- Olvidar multiplicar todo el paréntesis: En expresiones como \(3(8 - 2y)\), es muy común multiplicar \(3 \cdot 8 = 24\) y olvidar multiplicar el segundo término (\(3 \cdot -2y = -6y\)).
- Errores con los signos negativos: Si al despejar tienes \(-y = 5 - x\), debes recordar cambiar el signo de toda la expresión para que la variable quede positiva: \(y = -5 + x\).
Preguntas Frecuentes
¿Qué pasa si al sustituir se eliminan las variables y me queda algo como 0 = 0?
Si al hacer la sustitución correcta las variables desaparecen y obtienes una igualdad verdadera (como \(0 = 0\) o \(5 = 5\)), significa que el sistema tiene infinitas soluciones. Ambas ecuaciones equivalen exactamente a la misma expresión.
¿Y si me queda una igualdad falsa como 0 = 8?
Si las incógnitas se eliminan y obtienes una contradicción matemática (como \(0 = 8\)), significa que el sistema no tiene solución posible.
¿Da igual qué variable elija para despejar al inicio?
Sí, el resultado final será exactamente el mismo. Sin embargo, elegir la variable que tenga el coeficiente más sencillo (idealmente \(1\)) te evitará trabajar con fracciones durante el procedimiento.
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