Ejercicios Resueltos de Jerarquía de Operaciones
En matemáticas, las operaciones no se resuelven simplemente de izquierda a derecha. La jerarquía de operaciones es el conjunto de reglas que indican el orden preciso en el que debe resolverse una expresión matemática para obtener el resultado correcto. Sin este orden, una misma operación podría dar múltiples resultados.
El Orden de Prioridad (PEMDAS)
Para resolver cualquier operación combinada, sigue estrictamente este orden de arriba hacia abajo:
- Signos de Agrupación (De adentro hacia afuera): Primero se resuelven las operaciones que estén dentro de paréntesis \( ( ) \), luego corchetes \( [ ] \) y finalmente llaves \( \{ \} \).
- Multiplicaciones y Divisiones: Se resuelven antes que las sumas y restas. Si encuentras ambas en la misma fila, calcúlalas estrictamente de izquierda a derecha.
- Sumas y Restas: Son el último eslabón de la cadena. Al igual que el paso anterior, si hay varias seguidas, se ejecutan de izquierda a derecha.
Nota: Si dos operaciones tienen la misma jerarquía (como suma y resta), siempre se resuelven en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
Bloque de Práctica: 14 Casos de Operaciones con Signos de Agrupación
Analiza cómo se van eliminando los signos de agrupación capa por capa antes de proceder con las operaciones aritméticas finales.
Ejercicio 1: Multiplicación antes que suma
Calcular: \[ 10 + 5 \times 2 \]
Paso 1: La multiplicación tiene prioridad sobre la suma.
\[ 5 \times 2 = 10 \]
Paso 2: Sumamos el resultado.
\[ 10 + 10 = 20 \]
Ejercicio 2: Prioridad del paréntesis
Calcular: \[ (8 + 2) \div 5 \]
Paso 1: Resolvemos lo que está dentro del paréntesis primero.
\[ 8 + 2 = 10 \]
Paso 2: Dividimos.
\[ 10 \div 5 = 2 \]
Ejercicio 3: Multiplicación y división juntas
Calcular: \[ 24 \div 6 \times 2 \]
Regla: Como tienen la misma jerarquía, resolvemos de izquierda a derecha.
Primero la división:
\[ 24 \div 6 = 4 \]
Luego la multiplicación:
\[ 4 \times 2 = 8 \]
Ejercicio 4: Combinación de cuatro operaciones
Calcular: \[ 5 \times 4 - 12 \div 3 \]
Paso 1: Resolvemos multiplicación y división primero.
\[ 5 \times 4 = 20 \quad \text{y} \quad 12 \div 3 = 4 \]
Paso 2: Restamos los resultados.
\[ 20 - 4 = 16 \]
Ejercicio 5: Signos negativos y paréntesis
Calcular: \[ (-4) \times 3 + (-10) \div (-2) \]
Paso 1: Multiplicación:
\[ (-4) \times 3 = -12 \]
Paso 2: División:
\[ (-10) \div (-2) = 5 \]
Paso 3: Sumamos:
\[ -12 + 5 = -7 \]
Ejercicio 6: Uso de corchetes
Calcular: \[ 2 \times [15 - (3 + 2)] \]
Paso 1: Paréntesis interno:
\[ 3 + 2 = 5 \]
Paso 2: Corchete:
\[ 15 - 5 = 10 \]
Paso 3: Multiplicación final:
\[ 2 \times 10 = 20 \]
Ejercicio 7: Corchetes con división interna
Calcular: \[ 40 \div [5 \times (4 - 2)] \]
Paso 1: Paréntesis:
\[ 4 - 2 = 2 \]
Paso 2: Corchete:
\[ 5 \times 2 = 10 \]
Paso 3: División final:
\[ 40 \div 10 = 4 \]
Ejercicio 8: Operaciones extendidas
Calcular: \[ 10 + [2 \times (15 - 5)] - 8 \]
Paso 1: Paréntesis: \[ 15 - 5 = 10 \]
Paso 2: Corchete: \[ 2 \times 10 = 20 \]
Paso 3: Sumas y restas finales:
\[ 10 + 20 - 8 = 22 \]
Ejercicio 9: Introducción de llaves
Calcular: \[ 5 + \{2 \times [10 - (4 \div 2)]\} \]
Desglose desde el centro:
Paso 1: Paréntesis: \[ 4 \div 2 = 2 \]
Paso 2: Corchete: \[ 10 - 2 = 8 \]
Paso 3: Llave: \[ 2 \times 8 = 16 \]
Paso 4: Suma final: \[ 5 + 16 = 21 \]
Ejercicio 10: El reto de llaves, corchetes y paréntesis
Calcular: \[ 20 - \{4 \times [15 \div (3 + 2)] + 2\} \]
Paso a paso detallado:
$$ \begin{aligned} 20 - \{4 \times [15 \div \mathbf{(3 + 2)}] + 2\} \\ = 20 - \{4 \times \mathbf{[15 \div 5]} + 2\} \\ = 20 - \{\mathbf{4 \times 3} + 2\} \\ = 20 - \mathbf{\{12 + 2\}} \\ = 20 - 14 \\ = 6 \end{aligned} $$Resultado Final: 6
Ejercicio 11: Eliminación Básica de Paréntesis y Corchetes
Resuelve la siguiente expresión respetando el orden de los signos contenedores:
\[ 5 + 2 \times [ 15 - ( 3 + 4 ) ] \]
Procedimiento: Resolvemos primero el paréntesis interno, luego el corchete y finalmente la multiplicación antes de sumar:
- Paso 1 (Paréntesis): \( 3 + 4 = 7 \). La expresión queda: \[ 5 + 2 \times [ 15 - 7 ] \]
- Paso 2 (Corchete): \( 15 - 7 = 8 \). La expresión queda: \[ 5 + 2 \times 8 \]
- Paso 3 (Multiplicación): \( 2 \times 8 = 16 \). La expresión queda: \[ 5 + 16 \]
- Paso 4 (Suma): \[ 5 + 16 = 21 \]
\[ 5 + 2 \times [ 15 - ( 3 + 4 ) ] = 21 \]
Resultado: El valor definitivo es 21.
Ejercicio 12: Estructura Completa con Llaves, Corchetes y Paréntesis
Determina el resultado de la siguiente operación combinada:
\[ 40 - \{ 4 + [ 2 \times ( 8 - 5 ) ] \} \]
Procedimiento: Desglosamos la operación desde el núcleo más profundo hacia afuera:
- Paso 1 (Paréntesis): \( 8 - 5 = 3 \). La expresión queda: \[ 40 - \{ 4 + [ 2 \times 3 ] \} \]
- Paso 2 (Corchete): \( 2 \times 3 = 6 \). La expresión queda: \[ 40 - \{ 4 + 6 \} \]
- Paso 3 (Llaves): \( 4 + 6 = 10 \). La expresión queda: \[ 40 - 10 \]
- Paso 4 (Resta): \[ 40 - 10 = 30 \]
\[ 40 - \{ 4 + [ 2 \times ( 8 - 5 ) ] \} = 30 \]
Resultado: El resultado final es 30.
Ejercicio 13: Multiplicación Implícita y Signos de Agrupación
Calcula el valor neto considerando que un número junto a un signo de agrupación indica multiplicación:
\[ \{ [ 3 \times ( 12 - 4 ) ] - 10 \} + 6 \]
Procedimiento: Operamos la cadena reduciendo los contenedores de forma ordenada:
- Paso 1 (Paréntesis): \( 12 - 4 = 8 \). La expresión queda: \[ \{ [ 3 \times 8 ] - 10 \} + 6 \]
- Paso 2 (Corchete): \( 3 \times 8 = 24 \). La expresión queda: \[ \{ 24 - 10 \} + 6 \]
- Paso 3 (Llaves): \( 24 - 10 = 14 \). La expresión queda: \[ 14 + 6 \]
- Paso 4 (Suma): \[ 14 + 6 = 20 \]
\[ \{ [ 3 \times ( 12 - 4 ) ] - 10 \} + 6 = 20 \]
Resultado: El valor final calculado es 20.
Ejercicio 14: División y Multiplicación en la Misma Fila
Resuelve con cuidado aplicando la regla de izquierda a derecha en operaciones del mismo nivel:
\[ 40 \div \{ 2 + [ 18 \div ( 4 + 5 ) \times 3 ] \} \]
Procedimiento: Ejecutamos las prioridades internas prestando atención al orden del corchete:
- Paso 1 (Paréntesis): \( 4 + 5 = 9 \). Expresión: \[ 40 \div \{ 2 + [ 18 \div 9 \times 3 ] \} \]
- Paso 2 (Corchete - de izquierda a derecha): Primero la división \( 18 \div 9 = 2 \), quedando \( [ 2 \times 3 ] \). Luego la multiplicación \( 2 \times 3 = 6 \). Expresión: \[ 40 \div \{ 2 + 6 \} \]
- Paso 3 (Llaves): \( 2 + 6 = 8 \). Expresión: \[ 40 \div 8 \]
- Paso 4 (División final): \[ 40 \div 8 = 5 \]
\[ 40 \div \{ 2 + [ 18 \div ( 4 + 5 ) \times 3 ] \} = 5 \]
Resultado: La solución definitiva es 5.
⚠️ Errores comunes en la jerarquía de operaciones
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Resolver de izquierda a derecha sin mirar los signos: Hacer la suma antes que la multiplicación solo porque aparece primero.
- Olvidar la ley de signos al eliminar paréntesis: Especialmente cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, como en \( -(5 - 8) \).
- Confundir la prioridad de multiplicación y división: Creer que la multiplicación siempre va antes que la división. Recuerda: van empatadas, se resuelve la que esté primero a la izquierda.
Preguntas Frecuentes sobre la jerarquía
¿Qué significa PEMDAS?
Es un acrónimo para recordar el orden: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción.
¿Por qué se usan corchetes y llaves?
Para organizar visualmente las operaciones cuando ya hay paréntesis. Ayudan a identificar qué grupos de números se deben resolver primero sin confundirse entre tantas líneas curvas.
¿Qué hago si hay dos paréntesis separados?
Puedes resolver ambos al mismo tiempo en el primer paso, ya que son independientes el uno del otro.
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