Ejercicios Resueltos de Potencias con la Misma Base
Cuando tienes que operar expresiones matemáticas con muchas potencias, resolver cada una por separado es ineficiente. Si las potencias comparten la misma base, puedes aplicar dos "atajos" algebraicos brutales para reducir todo a una sola potencia en segundos.
1. Multiplicación de Potencias de Igual Base
Cuando multiplicamos dos o más potencias que tienen exactamente la misma base, la base se mantiene igual y los exponentes se suman.
\[ a^n \times a^m = a^{n + m} \]
¿Por qué funciona esto? (Intuición visual)
Si expandimos la expresión \( 2^3 \times 2^2 \), estamos multiplicando tres veces el dos por un lado, y dos veces el dos por el otro:
\[ (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) \]
\[ = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \]
Como ves, contar el total de factores es exactamente igual que hacer la suma directa de los exponentes: \( 3 + 2 = 5 \).
2. División de Potencias de Igual Base
Cuando dividimos dos potencias con la misma base, la base se conserva idéntica y el exponente del denominador (abajo) se le resta al exponente del numerador (arriba).
\[ {\Large \tfrac{a^n}{a^m}} = a^{n - m} \]
¿Por qué funciona esto? (Intuición visual)
Si planteamos la división \( {\Large \frac{5^4}{5^2}} \) de forma extendida, podemos "cancelar" o simplificar los factores repetidos de arriba y abajo porque cualquier número dividido entre sí mismo da uno:
\[ {\Large \tfrac{5 \times 5 \times 5 \times 5}{5 \times 5}} = {\Large \tfrac{\cancel{5} \times \cancel{5} \times 5 \times 5}{\cancel{5} \times \cancel{5}}} = 5 \times 5 = 5^2 \]
Mecánicamente, es el equivalente exacto a restar los exponentes: \( 4 - 2 = 2 \).
🎯 Truco de Agilidad: Cuidado con el "exponente invisible"
Un error clásico en los exámenes es resolver expresiones como \( 2^4 \times 2 \) y pensar que el resultado es \( 2^4 \) porque el segundo número no tiene exponente. Recuerda que todo número solo tiene un exponente invisible igual a \( 1 \). El planteamiento correcto debe ser \( 2^4 \times 2^1 = 2^{4+1} = 2^5 \). ¡No te dejes engañar!
Bloque de Práctica: 10 Casos de Potencias de Igual Base
Ejercicio 1: Multiplicación básica de potencias
Simplifica la expresión dejando el resultado en forma de una sola potencia: \[ 3^5 \times 3^2 \]
Verificamos que ambas potencias comparten la misma base, la cual es \( 3 \). Aplicamos la propiedad sumando directamente sus exponentes:
\[ 3^5 \times 3^2 = 3^{5 + 2} \]
Resultado final: \[ 3^7 \]
Ejercicio 2: División básica de potencias
Simplifica a una sola potencia la siguiente estructura fraccionaria: \[ {\Large \tfrac{7^8}{7^5}} \]
La base común es \( 7 \). Al tratarse de una división (cociente), conservamos la base y restamos el exponente inferior al superior:
\[ {\Large \tfrac{7^8}{7^5}} = 7^{8 - 5} \]
Resultado final: \[ 7^3 \]
Ejercicio 3: Multiplicación con el exponente invisible
Reduce a una sola potencia la expresión: \[ 5^6 \times 5 \]
Hacemos visible el exponente unitario del segundo factor de la operación:
\[ 5^6 \times 5^1 \]
Dado que es un producto de igual base, procedemos a sumar los exponentes de forma lineal:
\[ 5^{6 + 1} = 5^7 \]
Resultado final: \[ 5^7 \]
Ejercicio 4: Producto de tres factores
Simplifica la siguiente operación continua: \[ 2^3 \times 2^4 \times 2^2 \]
La propiedad no se limita a dos elementos; si todos los factores comparten la misma base \( 2 \), podemos sumar todos los exponentes en un único paso:
\[ 2^3 \times 2^4 \times 2^2 = 2^{3 + 4 + 2} \]
Resultado final: \[ 2^9 \]
Ejercicio 5: División con bases negativas protegidas
Simplifica la expresión manteniendo su estructura formal: \[ {\Large \tfrac{(-4)^9}{(-4)^7}} \]
La base en este ejercicio es el conjunto completo rodeado por paréntesis \( (-4) \). Como es idéntica arriba y abajo, restamos los exponentes:
\[ {\Large \tfrac{(-4)^9}{(-4)^7}} = (-4)^{9 - 7} = (-4)^2 \]
Resultado final: \[ (-4)^2 \]
Ejercicio 6: Operación mixta (Producto y Cociente)
Reduce a su mínima expresión fraccionaria la siguiente combinación: \[ {\Large \tfrac{6^4 \times 6^5}{6^6}} \]
Resolvemos primero la parte superior (numerador) aplicando la suma de exponentes por multiplicación:
\[ 6^4 \times 6^5 = 6^{4 + 5} = 6^9 \]
Ahora reescribimos la división con el nuevo numerador y restamos el exponente del denominador:
\[ {\Large \tfrac{6^9}{6^6}} = 6^{9 - 6} = 6^3 \]
Resultado final: \[ 6^3 \]
Ejercicio 7: Resta de exponentes con resultado cero
Aplica la propiedad de la división para resolver la estructura: \[ {\Large \tfrac{9^4}{9^4}} \]
Mantenemos la base \( 9 \) y efectuamos la diferencia de los exponentes correspondientes:
\[ {\Large \tfrac{9^4}{9^4}} = 9^{4 - 4} = 9^0 \]
Por definición, cualquier número real distinto de cero elevado a cero es igual a uno:
\[ 9^0 = 1 \]
Resultado final: \( 1 \)
Ejercicio 8: Bases diferentes mezcladas
Simplifica al máximo la siguiente expresión agrupando solo lo que sea posible: \[ 2^3 \times 5^4 \times 2^5 \times 5^2 \]
¡Atención! Solo podemos asociar aquellas potencias que tengan bases idénticas. Agrupamos las bases \( 2 \) por un lado y las bases \( 5 \) por el otro:
\[ (2^3 \times 2^5) \times (5^4 \times 5^2) \]
Sumamos los exponentes de cada base de forma independiente:
\[ 2^{3 + 5} \times 5^{4 + 2} = 2^8 \times 5^6 \]
Resultado final: \[ 2^8 \times 5^6 \]
Ejercicio 9: División con decimales de igual base
Reduce a una sola potencia la expresión decimal: \[ {\Large \tfrac{0{,}2^{12}}{0{,}2^{10}}} \]
La base común es el número decimal protegido \( 0{,}2 \). Aplicamos de forma directa la ley de la resta para cocientes:
\[ {\Large \tfrac{0{,}2^{12}}{0{,}2^{10}}} = 0{,}2^{12 - 10} \]
Resultado final: \[ 0{,}2^2 \]
Ejercicio 10: Desafío combinatorio largo
Simplifica la siguiente gran estructura reduciéndola a un producto mínimo: \[ {\Large \tfrac{4^3 \times 4^7 \times 4^2}{4^5 \times 4^4}} \]
Simplificamos de forma independiente tanto el numerador como el denominador sumando sus exponentes:
- Numerador: \( 4^3 \times 4^7 \times 4^2 = 4^{3 + 7 + 2} = 4^{12} \).
- Denominador: \( 4^5 \times 4^4 = 4^{5 + 4} = 4^9 \).
Reensamblamos la fracción reducida y aplicamos la resta de exponentes final:
\[ {\Large \tfrac{4^{12}}{4^9}} = 4^{12 - 9} = 4^3 \]
Resultado final: \[ 4^3 \]
⚠️ Errores comunes al usar Propiedades de Igual Base
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Multiplicar las bases además de sumar los exponentes: Escribir que \( 2^3 \times 2^4 = 4^7 \). ¡La base se debe conservar intacta! Lo correcto es \( 2^7 \).
- Sumar exponentes en una suma real: Cometer el tremendo error de aplicar la ley a expresiones con signos de adición, como decir que \( 5^2 + 5^3 = 5^5 \).
- Olvidar restar el exponente inferior en divisiones: Hacer operaciones erróneas sumando los exponentes de una fracción en lugar de restarlos debido a una confusión mecánica de conceptos.
Preguntas Frecuentes
¿Qué pasa si al restar los exponentes en una división el resultado da negativo?
La propiedad se sigue aplicando exactamente igual. Por ejemplo, \( {\Large \frac{2^3}{2^5}} = 2^{3 - 5} = 2^{-2} \). El significado de tener un exponente con signo negativo es un concepto avanzado que estudiaremos al detalle en la Lección 5 de este pilar.
¿Se pueden aplicar estas reglas si las bases son parecidas pero no idénticas, como 2 y -2?
No, las bases tienen que ser estrictamente iguales tanto en su valor absoluto como en su signo. Las expresiones \( 2^4 \) y \( (-2)^3 \) no comparten la misma base, por lo que no se pueden unificar sus exponentes de forma directa a través de estas leyes.
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