Ejercicios Resueltos de Proporcionalidad Compuesta
¿Qué pasa cuando intervienen tres o más cantidades al mismo tiempo? En esta lección aprenderás a resolver problemas complejos donde se cruzan múltiples relaciones de proporcionalidad simultáneamente.
¿Qué es la Proporcionalidad Compuesta?
La proporcionalidad compuesta se utiliza cuando se relacionan tres o más magnitudes independientes. Es, en esencia, la unión de varias reglas de tres simples aplicadas en un solo esquema de trabajo.
El secreto del planteamiento paso a paso:
Para resolver cualquier regla de tres compuesta de forma infalible, sigue este orden estratégico:
- Organiza los datos en columnas: Agrupa cada magnitud con su unidad correspondiente y coloca la columna que contiene la incógnita \( x \) siempre al final (a la derecha).
- Compara de forma individual: Analiza la columna de la incógnita con cada una de las otras columnas de forma aislada, asumiendo que las demás se quedan fijas. Determina si la relación es directa (D) o inversa (I).
- Arma la ecuación: Escribe la fracción de la incógnita de un lado del signo igual, y del otro lado coloca el producto de las demás fracciones. Si una relación es inversa, invierte los términos de esa fracción antes de operar.
Magnitud A Magnitud B Magnitud C
(Inversa) (Directa) (Incógnita)
a1 -------> b1 -------> c1
a2 -------> b2 -------> x
Siguiendo el esquema anterior, como la Magnitud \( A \) es inversa y la \( B \) es directa, la ecuación matemática para despejar se plantea de la siguiente manera:
\[ {\Large \tfrac{c1}{x}} = {\Large \tfrac{a2}{a1}} \times {\Large \tfrac{b1}{b2}} \]
🎯 Truco de Agilidad: El método de los signos arriba y abajo
Existe un método mecánico muy rápido: coloca un signo \( (+) \) sobre el número que está arriba de la \( x \). Para las demás columnas: si la relación es directa, pon \( (-) \) arriba y \( (+) \) abajo; si es inversa, pon \( (+) \) arriba y \( (-) \) abajo. Al final, el valor de \( x \) será simplemente la multiplicación de todos los números con signo \( (+) \) dividida entre la multiplicación de todos los números con signo \( (-) \).
Bloque de Práctica: 10 Casos de Proporcionalidad Compuesta
Ejercicio 1: Obras y jornadas laborales
Si \( 5 \) obreros construyen una zanja de \( 40 \) metros trabajando \( 8 \) horas al día, ¿cuántos metros construirán \( 10 \) obreros trabajando \( 6 \) horas al día?
Identificamos las columnas colocando la magnitud de la incógnita (metros) a la derecha. Comparamos con los metros:
\[ 5 \text{ obreros} \longrightarrow 8 \text{ hrs} \longrightarrow 40 \text{ mts} \]
\[ 10 \text{ obreros} \longrightarrow 6 \text{ hrs} \longrightarrow x \text{ mts} \]
- A más obreros, más metros construidos \( \rightarrow \) Directa.
- A más horas diarias, más metros construidos \( \rightarrow \) Directa.
Planteamos las fracciones del problema manteniendo el orden porque ambas relaciones resultaron directas:
\[ {\Large \tfrac{40}{x}} = {\Large \tfrac{5}{10}} \times {\Large \tfrac{8}{6}} \]
Multiplicamos las fracciones del lado derecho del desarrollo:
\[ {\Large \tfrac{40}{x}} = {\Large \tfrac{5 \times 8}{10 \times 6}} = {\Large \tfrac{40}{60}} \]
Despejamos aplicando la regla de la diagonal en la proporción equivalente obtenida:
\[ x = {\Large \tfrac{40 \times 60}{40}} = 60 \]
Resultado final: Construirán \( 60 \) metros de zanja.
Ejercicio 2: Imprenta industrial y plazos
Tres impresoras funcionando \( 4 \) horas al día imprimen \( 3.000 \) folletos en \( 5 \) días. ¿Cuántos días tardarán \( 2 \) impresoras trabajando \( 6 \) horas al día en imprimir los mismos \( 3.000 \) folletos?
La cantidad de folletos es fija (\( 3.000 \)), así que comparamos las impresoras y las horas respecto a la columna de días:
\[ 3 \text{ imp} \longrightarrow 4 \text{ hrs} \longrightarrow 5 \text{ días} \]
\[ 2 \text{ imp} \longrightarrow 6 \text{ hrs} \longrightarrow x \text{ días} \]
- A menos impresoras operando, se necesitan más días \( \rightarrow \) Inversa.
- A más horas diarias de labor, se necesitan menos días \( \rightarrow \) Inversa.
Planteamos la igualdad. Como ambas relaciones son de tipo inverso, invertimos ambas fracciones estructurales:
\[ {\Large \tfrac{5}{x}} = {\Large \tfrac{2}{3}} \times {\Large \tfrac{6}{4}} \]
Resolvemos la multiplicación de los componentes numeradores y denominadores:
\[ {\Large \tfrac{5}{x}} = {\Large \tfrac{12}{12}} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Resultado final: Tardarán \( 5 \) días.
Ejercicio 3: Alimentación de ganado
Un granjero necesita \( 400 \) kilogramos de alimento para mantener a \( 20 \) vacas durante \( 12 \) días. ¿Cuántos kilogramos requerirá para alimentar a \( 30 \) vacas durante \( 18 \) días?
La incógnita es la cantidad de kilogramos de alimento. Analizamos su comportamiento respecto a las variables:
\[ 20 \text{ vacas} \longrightarrow 12 \text{ días} \longrightarrow 400 \text{ kg} \]
\[ 30 \text{ vacas} \longrightarrow 18 \text{ días} \longrightarrow x \text{ kg} \]
- A más vacas que alimentar, se necesitan más kilogramos \( \rightarrow \) Directa.
- A más días de consumo sostenido, se necesitan más kilogramos \( \rightarrow \) Directa.
Planteamos la relación matemática conservando los órdenes lineales directos:
\[ {\Large \tfrac{400}{x}} = {\Large \tfrac{20}{30}} \times {\Large \tfrac{12}{18}} \]
Multiplicamos los factores numéricos derechos:
\[ {\Large \tfrac{400}{x}} = {\Large \tfrac{240}{540}} \]
Simplificamos la fracción dividiendo entre \( 60 \) para trabajar con valores más limpios: \( {\Large \frac{240}{540}} = {\Large \frac{4}{9}} \). Despejamos la variable:
\[ x = {\Large \tfrac{400 \times 9}{4}} \]
\[ x = 100 \times 9 = 900 \]
Resultado final: Requerirá \( 900 \) kilogramos de alimento.
Ejercicio 4: Transporte de carga por carretera
Para transportar \( 80 \) toneladas de mercancía, \( 4 \) camiones idénticos deben realizar \( 12 \) viajes cada uno. ¿Cuántos viajes deberán realizar \( 6 \) camiones para mover \( 90 \) toneladas?
La magnitud incógnita es el número de viajes. Analizamos las relaciones columna por columna:
\[ 4 \text{ camiones} \longrightarrow 80 \text{ ton} \longrightarrow 12 \text{ viajes} \]
\[ 6 \text{ camiones} \longrightarrow 90 \text{ ton} \longrightarrow x \text{ viajes} \]
- A más camiones disponibles, se necesitan menos viajes \( \rightarrow \) Inversa.
- A más toneladas que transportar, se requieren más viajes \( \rightarrow \) Directa.
Planteamos la igualdad invirtiendo la fracción de camiones (inversa) y manteniendo la de toneladas (directa):
\[ {\Large \tfrac{12}{x}} = {\Large \tfrac{6}{4}} \times {\Large \tfrac{80}{90}} \]
Efectuamos el producto acumulado de las fracciones:
\[ {\Large \tfrac{12}{x}} = {\Large \tfrac{480}{360}} \]
Simplificamos el factor numérico dividiendo por \( 120 \) para obtener \( {\Large \frac{4}{3}} \). Resolvemos cruzado:
\[ x = {\Large \tfrac{12 \times 3}{4}} = {\Large \tfrac{36}{4}} = 9 \]
Resultado final: Deberán realizar \( 9 \) viajes cada uno.
Ejercicio 5: Consumo de agua en complejos hoteleros
Un hotel con \( 50 \) huéspedes consume \( 15.000 \) litros de agua en \( 3 \) días. ¿Cuántos días durarán \( 20.000 \) litros de agua si el hotel recibe a \( 40 \) huéspedes?
Buscamos calcular la cantidad de días de reserva de agua. Evaluamos el impacto de las variaciones:
\[ 50 \text{ huéspedes} \longrightarrow 15.000 \text{ L} \longrightarrow 3 \text{ días} \]
\[ 40 \text{ huéspedes} \longrightarrow 20.000 \text{ L} \longrightarrow x \text{ días} \]
- A menos huéspedes en el complejo, el agua durará más días \( \rightarrow \) Inversa.
- A mayor cantidad de litros en el almacén, durará más días \( \rightarrow \) Directa.
Planteamos invirtiendo huéspedes y manteniendo el orden de los litros de agua:
\[ {\Large \tfrac{3}{x}} = {\Large \tfrac{40}{50}} \times {\Large \tfrac{15.000}{20.000}} \]
Simplificamos cancelando los ceros proporcionales antes de multiplicar: \( {\Large \frac{4}{5}} \times {\Large \frac{15}{20}} \):
\[ {\Large \tfrac{3}{x}} = {\Large \tfrac{60}{100}} = {\Large \tfrac{6}{10}} \]
Despejamos la incógnita mediante cálculo cruzado directo:
\[ x = {\Large \tfrac{3 \times 10}{6}} = {\Large \tfrac{30}{6}} = 5 \]
Resultado final: Los litros de agua durarán \( 5 \) días.
Ejercicio 6: Producción de calzado en talleres
Una fábrica de calzado que cuenta con \( 6 \) máquinas de coser produce \( 900 \) pares de zapatos operando \( 5 \) días. ¿Cuántas máquinas se necesitarán para producir \( 1.800 \) pares en \( 4 \) días?
Analizamos las relaciones con respecto a la columna de número de máquinas:
\[ 900 \text{ pares} \longrightarrow 5 \text{ días} \longrightarrow 6 \text{ máquinas} \]
\[ 1.800 \text{ pares} \longrightarrow 4 \text{ días} \longrightarrow x \text{ máquinas} \]
- A más pares de zapatos que producir, se requieren más máquinas \( \rightarrow \) Directa.
- A menos días disponibles de plazo de entrega, se requieren más máquinas \( \rightarrow \) Inversa.
Invertimos la fracción del tiempo en días y conservamos el orden del volumen de calzado:
\[ {\Large \tfrac{6}{x}} = {\Large \tfrac{900}{1.800}} \times {\Large \tfrac{4}{5}} \]
Simplificamos la primera fracción numérica sabiendo que \( {\Large \frac{900}{1.800}} = {\Large \frac{1}{2}} \):
\[ {\Large \tfrac{6}{x}} = {\Large \tfrac{1}{2}} \times {\Large \tfrac{4}{5}} = {\Large \tfrac{4}{10}} \]
Despejamos el valor de las máquinas requeridas en cruz:
\[ x = {\Large \tfrac{6 \times 10}{4}} = {\Large \tfrac{60}{4}} = 15 \]
Resultado final: Se necesitarán \( 15 \) máquinas.
Ejercicio 7: Costo de mantenimiento e iluminación
El gasto de iluminación de una bodega industrial con \( 8 \) focos encendidos durante \( 6 \) horas diarias asciende a \( 24 \) dólares al mes. ¿Cuál será el costo mensual si se cambian por \( 12 \) focos y se encienden \( 5 \) horas diarias?
La incógnita es el costo en dólares. Estudiamos las relaciones de las magnitudes asociadas:
\[ 8 \text{ focos} \longrightarrow 6 \text{ hrs} \longrightarrow 24 \text{ dól.} \]
\[ 12 \text{ focos} \longrightarrow 5 \text{ hrs} \longrightarrow x \text{ dól.} \]
- A más focos activos en la bodega, mayor será el costo de la factura \( \rightarrow \) Directa.
- A menos horas de uso al día, menor será el costo de la factura \( \rightarrow \) Directa.
Como las dos relaciones son de variación directa, planteamos la multiplicación sin cambiar las posiciones:
\[ {\Large \tfrac{24}{x}} = {\Large \tfrac{8}{12}} \times {\Large \tfrac{6}{5}} \]
Multiplicamos los términos horizontales de la fracción:
\[ {\Large \tfrac{24}{x}} = {\Large \tfrac{48}{60}} \]
Simplificamos dividiendo la fracción entre \( 12 \) para obtener de forma limpia \( {\Large \frac{4}{5}} \). Despejamos:
\[ x = {\Large \tfrac{24 \times 5}{4}} \]
Reducimos operando el cociente entero inicial \( 24 \div 4 = 6 \) y calculamos:
\[ x = 6 \times 5 = 30 \]
Resultado final: El costo mensual será de \( 30 \) dólares.
Ejercicio 8: Lavandería industrial
Tres lavadoras industriales consumen \( 120 \) litros de agua para procesar \( 60 \) kilogramos de ropa. ¿Cuántos litros de agua consumirán \( 5 \) lavadoras similares para lavar \( 80 \) kilogramos de ropa?
La magnitud que buscamos es el volumen de litros de agua. Estudiamos las columnas:
\[ 3 \text{ lavadoras} \longrightarrow 60 \text{ kg} \longrightarrow 120 \text{ L} \]
\[ 5 \text{ lavadoras} \longrightarrow 80 \text{ kg} \longrightarrow x \text{ L} \]
- A más lavadoras activas, mayor consumo de agua \( \rightarrow \) Directa.
- A más kilogramos de ropa que lavar, mayor consumo de agua \( \rightarrow \) Directa.
Escribimos la combinación aritmética directa respetando el orden numérico del enunciado:
\[ {\Large \tfrac{120}{x}} = {\Large \tfrac{3}{5}} \times {\Large \tfrac{60}{80}} \]
Simplificamos el factor final cancelando los decimales base a \( {\Large \frac{6}{8}} = {\Large \frac{3}{4}} \):
\[ {\Large \tfrac{120}{x}} = {\Large \tfrac{3}{5}} \times {\Large \tfrac{3}{4}} = {\Large \tfrac{9}{20}} \]
Despejamos la variable mediante multiplicación cruzada diagonal:
\[ x = {\Large \tfrac{120 \times 20}{9}} \]
\[ x = {\Large \tfrac{2.400}{9}} = 266{,}66 \]
Resultado final: Consumirán \( 266{,}66 \) litros de agua.
Ejercicio 9: Envío de paquetería postal
Dos repartidores de paquetería entregan \( 80 \) paquetes trabajando \( 4 \) horas diarias. ¿Cuántos repartidores se necesitan para entregar \( 240 \) paquetes si van a trabajar \( 6 \) horas diarias?
Evaluamos el impacto de las variables con respecto a la columna del número de repartidores:
\[ 80 \text{ paq.} \longrightarrow 4 \text{ hrs} \longrightarrow 2 \text{ repartidores} \]
\[ 240 \text{ paq.} \longrightarrow 6 \text{ hrs} \longrightarrow x \text{ repartidores} \]
- A más paquetes que entregar, se requieren más repartidores \( \rightarrow \) Directa.
- A más horas diarias de trabajo por persona, se necesitan menos repartidores \( \rightarrow \) Inversa.
Planteamos invirtiendo la fracción correspondiente a las horas diarias de trabajo:
\[ {\Large \tfrac{2}{x}} = {\Large \tfrac{80}{240}} \times {\Large \tfrac{6}{4}} \]
Simplificamos los elementos numéricos iniciales sabiendo que \( {\Large \frac{80}{240}} = {\Large \frac{1}{3}} \):
\[ {\Large \tfrac{2}{x}} = {\Large \tfrac{1}{3}} \times {\Large \tfrac{6}{4}} = {\Large \tfrac{6}{12}} = {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Despejamos resolviendo el cruce básico de la proporción equivalente:
\[ x = 2 \times 2 = 4 \]
Resultado final: Se necesitan \( 4 \) repartidores.
Ejercicio 10: Motores de extracción de agua
Cuatro motores de extracción idénticos consumen \( 160 \) litros de combustible si funcionan de forma continua por \( 5 \) horas. ¿Cuántos litros de combustible consumirán \( 6 \) motores iguales funcionando durante \( 8 \) horas?
La incógnita corresponde al volumen de combustible. Comparamos las magnitudes asociadas:
\[ 4 \text{ motores} \longrightarrow 5 \text{ hrs} \longrightarrow 160 \text{ L} \]
\[ 6 \text{ motores} \longrightarrow 8 \text{ hrs} \longrightarrow x \text{ L} \]
- A mayor número de motores encendidos, mayor gasto de combustible \( \rightarrow \) Directa.
- A más horas de funcionamiento continuo, mayor gasto de combustible \( \rightarrow \) Directa.
Escribimos la ecuación conservando los formatos de orden posicional directo de las columnas:
\[ {\Large \tfrac{160}{x}} = {\Large \tfrac{4}{6}} \times {\Large \tfrac{5}{8}} \]
Multiplicamos de manera directa los numeradores y los denominadores:
\[ {\Large \tfrac{160}{x}} = {\Large \tfrac{20}{48}} \]
Despejamos el valor de la incógnita resolviendo la proporción resultante en cruz:
\[ x = {\Large \tfrac{160 \times 48}{20}} \]
Simplificamos resolviendo el cociente entero directo \( 160 \div 20 = 8 \) y calculamos la respuesta:
\[ x = 8 \times 48 = 384 \]
Resultado final: Consumirán \( 384 \) litros de combustible.
⚠️ Errores comunes al resolver proporciones compuestas
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- No aislar las columnas al comparar: Analizar la Magnitud A pensando en los cambios de la Magnitud B. Al comparar dos columnas, asume siempre que el resto del problema se mantiene congelado y no cambia.
- Olvidar invertir las razones de tipo inverso: Multiplicar todas las fracciones tal como aparecen en el enunciado, ignorando que las relaciones inversas exigen voltear el numerador y el denominador antes de calcular.
- Ubicar la incógnita desordenada en el desarrollo: Colocar la fracción de la variable \( x \) mezclada en el centro de las multiplicaciones. Aunque matemáticamente es válido si se despeja bien, acomodarla siempre al inicio o al final evita equivocaciones de signo.
Preguntas Frecuentes
¿Cuántas magnitudes como máximo puede tener una regla de tres compuesta?
No existe un límite matemático. Puede tener cuatro, cinco o más columnas. El procedimiento es exactamente el mismo: se compara la columna de la incógnita contra cada una de las demás y se multiplican todas las fracciones resultantes del otro lado del signo igual.
¿Se puede resolver este tema mediante el método de reducción a la unidad?
Sí, calculando el valor unitario para cada variable por separado (por ejemplo, averiguar cuántos metros de zanja hace un solo obrero en una sola hora). Sin embargo, el método de las fracciones proporcionales suele ser mucho más rápido y limpio.
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