Ejercicios Resueltos de Factorización por Diferencia de Cuadrados

Identificamos que es un binomio separado por una resta y ambos elementos tienen raíces exactas:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{x^2} = x \)
• Raíz del segundo término: \( \sqrt{9} = 3 \)

Escribimos las raíces en dos paréntesis, uno sumando y otro restando:

Resultado final: \[ (x + 3)(x - 3) \]

Le sacamos la raíz cuadrada a cada bloque completo (recuerda afectar tanto al número como a la letra):

• Raíz del primer término: \( \sqrt{4y^2} = 2y \)
• Raíz del segundo término: \( \sqrt{25} = 5 \)

Armamos nuestros factores conjugados con los resultados obtenidos:

Resultado final: \[ (2y + 5)(2y - 5) \]

Este es el caso teórico puro. Extraemos las raíces directas de las variables cuadráticas:

• Raíz de la primera variable: \( \sqrt{a^2} = a \)
• Raíz de la segunda variable: \( \sqrt{b^2} = b \)

Resultado final: \[ (a + b)(a - b) \]

Para extraer la raíz cuadrada de una potencia, simplemente dividimos su exponente entre 2 (\( \sqrt{x^n} = x^{\frac{n}{2}} \)):

• Raíz del primer término: \( \sqrt{x^6} = x^{\frac{6}{2}} = x^3 \)
• Raíz del segundo término: \( \sqrt{49} = 7 \)

Colocamos los términos resultantes de forma simétrica en los paréntesis:

Resultado final: \[ (x^3 + 7)(x^3 - 7) \]

Calculamos con cuidado las raíces cuadradas de cada bloque numérico y sus respectivas potencias:

• Raíz de la primera parte: \( \sqrt{16m^4} = 4m^2 \)
• Raíz de la segunda parte: \( \sqrt{81n^8} = 9n^4 \)

Resultado final: \[ (4m^2 + 9n^4)(4m^2 - 9n^4) \]

Para extraer la raíz cuadrada de una fracción, se calcula de manera independiente la raíz del numerador y la del denominador:

• Raíz de la variable: \( \sqrt{x^2} = x \)
• Raíz de la fracción: \( \sqrt{ {\Large \frac{1}{4}}} = {\Large \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}} = {\Large \frac{1}{2}} \)

Ensamblamos los factores conjugados utilizando nuestra notación destacada:

Resultado final: \[ \left(x + {\Large\tfrac{1}{2}}\right)\left(x - {\Large\tfrac{1}{2}}\right) \]

Extraemos raíces cuadradas término a término respetando la estructura numérica de las fracciones:

• Primer elemento: \( \sqrt{ {\Large \frac{9}{16}}a^4} = {\Large \frac{3}{4}}a^2 \)
• Segundo elemento: \( \sqrt{ {\Large \frac{25}{36}}b^2} = {\Large \frac{5}{6}}b \)

Unimos las piezas resultantes dentro de los paréntesis correspondientes:

Resultado final: \[ \left({\Large\tfrac{3}{4}}a^2 + {\Large\tfrac{5}{6}}b\right)\left({\Large\tfrac{3}{4}}a^2 - {\Large\tfrac{5}{6}}b\right) \]

A primera vista parece una suma, pero un término es negativo y el otro positivo. Reordenamos los factores para que encajen perfectamente en nuestra estructura clásica de resta (\( a^2 - b^2 \)):

\[ x^2 - 100 \]

Ahora extraemos las raíces de manera completamente natural:

• \( \sqrt{x^2} = x \)
• \( \sqrt{100} = 10 \)

Resultado final: \[ (x + 10)(x - 10) \]

Etapa 1: Sacamos las raíces cuadradas directas iniciales:

• \( \sqrt{x^4} = x^2 \) y \( \sqrt{1} = 1 \)

Esto nos genera el primer desarrollo intermedio: \( (x^2 + 1)(x^2 - 1) \).

Etapa 2: Analizamos los factores obtenidos. El primer paréntesis \( (x^2 + 1) \) es una suma, no se puede factorizar más. Sin embargo, el segundo paréntesis \( (x^2 - 1) \) ¡es una nueva diferencia de cuadrados! Lo factorizamos de nuevo en \( (x + 1)(x - 1) \).

Unimos todos los eslabones algebraicos acumulados:

Resultado final: \[ (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) \]

¡Alerta! Si intentas sacar raíz a \( 3 \) y a \( 12 \), notarás que no son cuadrados perfectos. Siguiendo nuestro flujograma de decisión, aplicamos primero el Paso 0 (Factor Común Monomio) ya que ambos números se pueden dividir entre 3:

\[ 3(x^2 - 4) \]

Ahora, observa el interior del paréntesis: \( (x^2 - 4) \) es una diferencia de cuadrados impecable. Sacamos sus raíces: \( \sqrt{x^2} = x \) y \( \sqrt{4} = 2 \).

Mantenemos el 3 inicial multiplicando afuera de la solución final expandida:

Resultado final: \[ 3(x + 2)(x - 2) \]