Ejercicios Resueltos de Factorización por Suma y Diferencia de Cubos

Paso 1: Extraer raíces cúbicas. Buscamos los elementos base:

• Raíz cúbica del primero: \( \sqrt[3]{x^3} = x \)
• Raíz cúbica del segundo: \( \sqrt[3]{8} = 2 \)

Paso 2: Armar la estructura. Como es una resta, usamos la plantilla de resta de cubos con sus respectivos signos (mismo, contrario, positivo):

• Paréntesis corto: \( (x - 2) \)
• Paréntesis largo: \( (x^2 + (x \cdot 2) + 2^2) = (x^2 + 2x + 4) \)

Resultado final: \[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]

Paso 1: Extraer raíces cúbicas. Extraemos las bases:

• Raíz cúbica del primero: \( \sqrt[3]{y^3} = y \)
• Raíz cúbica del segundo: \( \sqrt[3]{27} = 3 \)

Paso 2: Aplicar la estructura de suma. Siguiendo el orden de signos cruzados:

• Binomio base: \( (y + 3) \)
• Trinomio desarrollado: \( (y^2 - 3y + 3^2) = (y^2 - 3y + 9) \)

Resultado final: \[ (y + 3)(y^2 - 3y + 9) \]

Le sacamos la raíz cúbica a cada bloque completo (afectando de forma obligatoria al número y a la letra):

• Raíz del primer término: \( \sqrt[3]{64x^3} = 4x \)
• Raíz del segundo término: \( \sqrt[3]{1} = 1 \)

Armamos los paréntesis aplicando con cuidado el cuadrado del primer término en el bloque largo: \( (4x)^2 = 16x^2 \).

Resultado final: \[ (4x - 1)(16x^2 + 4x + 1) \]

Calculamos las raíces de ambos componentes:

• Raíz de la primera variable: \( \sqrt[3]{a^3} = a \)
• Raíz de la segunda variable: \( \sqrt[3]{125b^3} = 5b \)

Desarrollamos el trinomio cruzado cuidando el producto de las dos raíces \( (a \cdot 5b = 5ab) \) y el cuadrado final \( (5b)^2 = 25b^2 \):

Resultado final: \[ (a + 5b)(a^2 - 5ab + 25b^2) \]

Para extraer la raíz cúbica de una potencia, dividimos el exponente original estrictamente entre 3:

• Raíz de la primera variable: \( \sqrt[3]{m^6} = m^{\frac{6}{3}} = m^2 \)
• Raíz de la segunda variable: \( \sqrt[3]{n^9} = n^{\frac{9}{3}} = n^3 \)

Construimos los factores. Ojo con las potencias de potencias en el trinomio: \( (m^2)^2 = m^4 \) y \( (n^3)^2 = n^6 \).

Resultado final: \[ (m^2 - n^3)(m^4 + m^2n^3 + n^6) \]

Para extraer la raíz cúbica de una fracción, calculamos de manera separada la raíz del numerador y del denominador:

• Raíz de la variable: \( \sqrt[3]{x^3} = x \)
• Raíz de la fracción: \( \sqrt[3]{ {\Large \frac{1}{27}}} = {\Large \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}} = {\Large \frac{1}{3}} \)

Ensamblamos el binomio y trinomio aplicando el formato correspondiente en el resultado final:

Resultado final: \[ \left(x + {\Large\tfrac{1}{3}}\right)\left(x^2 - {\Large\tfrac{1}{3}}x + {\Large\tfrac{1}{9}}\right) \]

Calculamos con precisión matemática las raíces cúbicas de cada término:

• Primer elemento: \( \sqrt[3]{ {\Large \frac{8}{125}}a^3} = {\Large \frac{2}{5}}a \)
• Segundo elemento: \( \sqrt[3]{ {\Large \frac{1}{64}}b^6} = {\Large \frac{1}{4}}b^2 \)

Unimos las piezas cuidando los cuadrados internos de las fracciones del trinomio largo:

Resultado final: \[ \left({\Large\tfrac{2}{5}}a - {\Large\tfrac{1}{4}}b^2\right)\left({\Large\tfrac{4}{25}}a^2 + {\Large\tfrac{1}{10}}ab^2 + {\Large\tfrac{1}{16}}b^4\right) \]

Mapeamos y calculamos las raíces cúbicas correspondientes:

• Raíz de la primera sección: \( \sqrt[3]{8x^6} = 2x^2 \)
• Raíz de la segunda sección: \( \sqrt[3]{27y^3} = 3y \)

Desarrollamos el trinomio largo: cuadrado del primero \( (2x^2)^2 = 4x^4 \), producto cruzado \( (2x^2 \cdot 3y = 6x^2y) \) y cuadrado del último \( (3y)^2 = 9y^2 \).

Resultado final: \[ (2x^2 + 3y)(4x^4 - 6x^2y + 9y^2) \]

Extraemos raíces cúbicas de los bloques dados:

• Raíz del término de dos variables: \( \sqrt[3]{a^3b^3} = ab \)
• Raíz del número entero: \( \sqrt[3]{216} = 6 \) (ya que \( 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 \))

Colocamos los elementos siguiendo la plantilla de resta de cubos:

Resultado final: \[ (ab - 6)(a^2b^2 + 6ab + 36) \]

¡Atención! Si intentas sacar raíz cúbica directa a \( 2 \) o a \( x^4 \), notarás que no son cubos perfectos. Siguiendo el flujograma de decisión de factorización, aplicamos primero el Paso 0 (Factor Común Monomio) ya que ambos términos tienen la letra \( x \) y se pueden dividir entre 2:

\[ 2x(x^3 + 27) \]

Ahora, observa el interior del paréntesis: \( (x^3 + 27) \) es una suma de cubos perfecta idéntica a la que resolvimos en el Ejercicio 2. Extraemos sus raíces: \( x \) y \( 3 \).

Mantenemos el monomio \( 2x \) multiplicando de manera inalterada afuera de toda la solución expandida:

Resultado final: \[ 2x(x + 3)(x^2 - 3y + 9) \]