Ejercicios Resueltos de Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas

Al ser monomios puros, multiplicamos de forma lineal los coeficientes numéricos y sumamos los exponentes de las letras correspondientes:

\[ \frac{3 \cdot 4 \cdot x^2 \cdot y^3}{2 \cdot 9 \cdot y \cdot x} \rightarrow \frac{12x^2y^3}{18xy} \]

Ahora simplificamos la fracción resultante de forma tradicional sacando sexta parte a los números (\( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \)) y restando los exponentes de las variables de arriba con las de abajo:

Resultado final: \[ \frac{2xy^2}{3} \]

En lugar de multiplicar el \( 5 \) o el \( 10 \) de forma distributiva, factorizamos primero el numerador izquierdo usando Factor Común Monomio:

\[ x^2 - 2x = x(x - 2) \]

Planteamos la multiplicación lineal juntando todos los bloques en una sola fracción:

\[ \frac{10 \cdot x(x - 2)}{5 \cdot (x - 2)} \]

Identificamos que el bloque \( (x - 2) \) se repite arriba y abajo, por lo que se simplifica por completo. Además, simplificamos los números exteriores (\( \frac{10}{5} = 2 \)):

Resultado final: \[ 2x \]

Escaneamos los denominadores y descubrimos dos Diferencias de Cuadrados listas para ser desarmadas:

• \( x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \)
• \( x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \)

Reescribimos la multiplicación de forma lineal uniendo los numeradores y denominadores en sus formas factorizadas:

\[ \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)(x + 3)(x - 3)} \]

Cancelamos los binomios idénticos cruzados: un bloque \( (x + 3) \) y un bloque \( (x - 2) \). Como el numerador se queda sin elementos, colocamos un \( 1 \):

Resultado final: \[ \frac{1}{(x + 2)(x - 3)} \]

Aplicamos el método de multiplicación cruzada (el de arriba de la primera por el de abajo de la segunda va arriba, etc.):

\[ \frac{5a^4 \cdot 9b^5}{3b^2 \cdot 10a} \rightarrow \frac{45a^4b^5}{30ab^2} \]

Simplificamos el monomio gigante sacando quinceava parte a los números (\( \frac{45}{30} = \frac{3}{2} \)) y restando de manera lineal los exponentes de las letras:

Resultado final: \[ \frac{3a^3b^3}{2} \]

Para trabajar de manera más cómoda, transformamos la división en multiplicación invirtiendo (dándole la vuelta) a la segunda fracción:

\[ \frac{x^2 - x}{x + 5} \cdot \frac{x^2 - 25}{x} \]

Ahora factorizamos todo lo que sea posible:

• Factor común arriba a la izquierda: \( x(x - 1) \)
• Diferencia de cuadrados arriba a la derecha: \( (x + 5)(x - 5) \)

Unimos todos los eslabones en una sola línea fraccionaria estructural:

\[ \frac{x(x - 1)(x + 5)(x - 5)}{x(x + 5)} \]

Simplificamos los factores idénticos repetidos: la \( x \) suelta y el bloque \( (x + 5) \):

Resultado final: \[ (x - 1)(x - 5) \]

Invertimos la segunda fracción para trabajar mediante un producto lineal directo:

\[ \frac{x^2 - 5x + 6}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x - 3} \]

Factorizamos el trinomio cuadrático buscando dos números que multiplicados den \( +6 \) y sumados den \( -5 \) (\( -3 \) y \( -2 \)):

\[ \frac{(x - 3)(x - 2) \cdot 4x^2}{2x \cdot (x - 3)} \]

Ejecutamos la simplificación del bloque binómico común \( (x - 3) \) y reducimos los monomios sobrantes exteriores (\( \frac{4x^2}{2x} = 2x \)):

Resultado final: \[ 2x(x - 2) \]

Tener tres o más fracciones no cambia las reglas del juego. Factorizamos de inmediato todas las diferencias de cuadrados ocultas del término medio:

\[ \frac{(x - 1)}{(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{(x + 1)}{5} \]

Agrupamos algebraicamente todo bajo un mismo divisor lineal común:

\[ \frac{(x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 1)}{5(x + 2)(x + 1)(x - 1)} \]

Comenzamos la gran limpieza simplificando los bloques idénticos: \( (x - 1) \), \( (x + 2) \) y \( (x + 1) \). Sobrevive únicamente el término \( (x - 2) \) y el número divisor:

Resultado final: \[ \frac{x - 2}{5} \]

Desarmamos las expresiones utilizando los criterios de productos notables inversos:

• Numerador izquierdo (TCP): \( (a - 2)^2 = (a - 2)(a - 2) \)
• Denominador izquierdo (Diferencia de Cuadrados): \( (a + 2)(a - 2) \)

Volcamos todas estas piezas dentro de la estructura general unificada:

\[ \frac{(a - 2)(a - 2)(a + 2)}{(a + 2)(a - 2)(a - 2)} \]

Analizamos con detenimiento: resulta que el numerador y el denominador contienen exactamente las mismas piezas multiplicándose. Todo elemento dividido entre sí mismo equivale a la unidad:

Resultado final: \[ 1 \]

Planteamos la división multiplicando los extremos (el más arriba con el más abajo) para el numerador, y los medios (los dos del centro) para el denominador:

\[ \frac{x(x^2 - 16)}{x^2(x - 4)} \]

Factorizamos la diferencia de cuadrados superior (\( x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4) \)):

\[ \frac{x(x + 4)(x - 4)}{x^2(x - 4)} \]

Simplificamos el bloque binómico \( (x - 4) \) y reducimos las variables sueltas \( \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \):

Resultado final: \[ \frac{x + 4}{x} \]

Procedemos a factorizar de manera independiente las zonas que lo requieren:

• Numerador izquierdo (\( ax^2 + bx + c \)): Usando el método AC multiplicamos \( 3 \cdot (-2) = -6 \). Los números son \( -6 \) y \( +1 \). Al desarmar por agrupación obtenemos: \[ (x - 2)(3x + 1) \]
• Denominador izquierdo (Diferencia de Cuadrados): \[ (x + 1)(x - 1) \]

Volvemos a reescribir toda la multiplicación de manera agrupada lineal:

\[ \frac{(x - 2)(3x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)(3x + 1)} \]

Efectuamos las simplificaciones de los bloques compartidos idénticos \( (3x + 1) \) y \( (x - 1) \):

Resultado final: \[ \frac{x - 2}{x + 1} \]