Ejercicios Resueltos de Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Al tener exactamente el mismo denominador (\( 3x \)), la operación es directa. Mantenemos la base y sumamos de forma lineal los términos semejantes del numerador:

\[ \frac{(2x + 1) + (x + 4)}{3x} \]

Agrupamos las \( x \) con las \( x \) (\( 2x + x = 3x \)) y los números con los números (\( 1 + 4 = 5 \)):

Resultado final: \[ \frac{3x + 5}{3x} \]

Los denominadores son diferentes (\( 2x \) y \( x^2 \)). Buscamos el Mínimo Común Denominador (MCD) tomando el coeficiente \( 2 \) y la variable repetida con su mayor exponente (\( x^2 \)):

\[ \text{MCD} = 2x^2 \]

Ahora ajustamos los numeradores dividiendo el MCD entre cada base original y multiplicando por el de arriba:

• Primera fracción: \[ (2x^2 \div 2x) \cdot 3 = x \cdot 3 = 3x \]
• Segunda fracción: \[ (2x^2 \div x^2) \cdot 1 = 2 \cdot 1 = 2 \]

Unimos todo sobre nuestra nueva base común:

Resultado final: \[ \frac{3x + 2}{2x^2} \]

Encontramos el MCD multiplicando los coeficientes y juntando las letras distintas:

\[ \text{MCD} = 15ab \]

Transformamos los numeradores dividiendo el MCD de forma cruzada:

\[ \frac{(5b \cdot 5) - (3a \cdot 2)}{15ab} \]

Resultado final: \[ \frac{25b - 6a}{15ab} \]

Como los binomios del denominador no se pueden factorizar más, el MCD es simplemente la multiplicación de ambos bloques entre paréntesis:

\[ \text{MCD} = (x + 1)(x - 2) \]

Dividimos el MCD entre cada base y multiplicamos hacia arriba (operación cruzada protegida):

\[ \frac{2(x - 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} \]

Destruimos los paréntesis del numerador aplicando la propiedad distributiva:

\[ \frac{2x - 4 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 2)} \]

Reducimos los términos semejantes (\( 2x + 3x = 5x \) y \( -4 + 3 = -1 \)):

Resultado final: \[ \frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)} \]

Establecemos nuestro común denominador: \( \text{MCD} = (x - 3)(x + 5) \). Planteamos el numerador con mucho cuidado, ya que el signo menos afectará a toda la segunda multiplicación:

\[ \frac{4(x + 5) - 2(x - 3)}{(x - 3)(x + 5)} \]

Resolvemos las distribuciones prestando atención al cambio de signo al final (\( -2 \cdot -3 = +6 \)):

\[ \frac{4x + 20 - 2x + 6}{(x - 3)(x + 5)} \]

Agrupamos los monomios semejantes:

Resultado final: \[ \frac{2x + 26}{(x - 3)(x + 5)} \]

Antes de buscar el MCD, debemos factorizar el primer denominador usando Factor Común Monomio:

\[ x^2 + 2x = x(x + 2) \]

Reescribimos la suma con la nueva estructura visible:

\[ \frac{1}{x(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} \]

Para armar el MCD tomamos los factores comunes y no comunes: la \( x \) suelta y el bloque \( (x + 2) \). Notamos que el primer denominador ya contiene a todo el MCD:

\[ \text{MCD} = x(x + 2) \]

Ajustamos las fracciones correspondientes:

\[ \frac{1 \cdot (1) + 3(x)}{x(x + 2)} \]

Resultado final: \[ \frac{3x + 1}{x(x + 2)} \]

Factorizamos el primer denominador aplicando Diferencia de Cuadrados:

\[ x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4) \]

El MCD será este producto completo, ya que contiene al segundo denominador de forma exacta: \( \text{MCD} = (x + 4)(x - 4) \). Estructuramos los numeradores ajustados:

\[ \frac{x \cdot (1) - 1(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} \]

Distribuimos el signo menos en la parte de arriba: \( x - x - 4 \). Como \( x - x = 0 \), arriba solo sobrevive el número constante:

Resultado final: \[ \frac{-4}{(x + 4)(x - 4)} \]

Factorizamos el trinomio cuadrático inferior buscando dos números que multiplicados den \( +6 \) y sumados den \( -5 \):

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \]

Establecemos el divisor común: \( \text{MCD} = (x - 3)(x - 2) \). Redefinimos los términos superiores operando de manera correlativa:

\[ \frac{2 \cdot (1) + 1(x - 2)}{(x - 3)(x - 2)} \]

Rompemos los paréntesis y cancelamos los números semejantes ya que \( 2 - 2 = 0 \):

\[ \frac{2 + x - 2}{(x - 3)(x - 2)} \rightarrow \frac{x}{(x - 3)(x - 2)} \]

Resultado final: \[ \frac{x}{(x - 3)(x - 2)} \]

Factorizamos la base derecha extrayendo factor común: \( x(x - 2) \). El divisor universal de la operación es \( \text{MCD} = x(x - 2) \). Ajustamos arriba:

\[ \frac{x(x) - 4 \cdot (1)}{x(x - 2)} \rightarrow \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)} \]

¡Atención! Mira el numerador obtenido: \( x^2 - 4 \) es una Diferencia de Cuadrados. Podemos factorizarlo para ver si se cancela algo:

\[ \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)} \]

Cancelamos el bloque binómico duplicado \( (x - 2) \) arriba y abajo de forma directa:

Resultado final: \[ \frac{x + 2}{x} \]

Desarmamos ambos denominadores de forma quirúrgica:

• Izquierdo (TCP): \[ (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) \]
• Derecho (Diferencia de Cuadrados): \[ (x + 1)(x - 1) \]

Para construir el MCD tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente: el bloque \( (x + 1) \) debe ir al cuadrado, acompañado de \( (x - 1) \):

\[ \text{MCD} = (x + 1)^2(x - 1) \]

Dividimos el MCD entre los denominadores viejos y multiplicamos hacia arriba:

\[ \frac{1(x - 1) + 1(x + 1)}{(x + 1)^2(x - 1)} \]

Simplificamos los elementos de arriba sumando los monomios lineales (\( x + x = 2x \) y \( -1 + 1 = 0 \)):

Resultado final: \[ \frac{2x}{(x + 1)^2(x - 1)} \]

Para resolver esta expresión de tres fracciones, el primer paso fundamental es desarmar y factorizar cada uno de los tres denominadores por separado:

• Primer denominador (Factor Común Monomio): \[ x^2 - x = x(x - 1) \]
• Segundo denominador (Diferencia de Cuadrados): \[ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \]
• Tercer denominador (Factor Común Monomio): \[ x^2 + x = x(x + 1) \]

Ahora construimos el Mínimo Común Denominador (MCD) reuniendo todas las piezas únicas que aparecen (factores comunes y no comunes) sin repetir ninguna: la \( x \) suelta, el bloque \( (x - 1) \) y el bloque \( (x + 1) \):

\[ \text{MCD} = x(x - 1)(x + 1) \]

Ajustamos los numeradores dividiendo este MCD entre cada denominador original y multiplicando el resultado por el término de arriba de forma correspondiente:

• Para la primera fracción: $$ \begin{aligned} & [\cancel{x}\cancel{(x - 1)}(x + 1) \div \cancel{x}\cancel{(x - 1)}] \cdot 1 \\ & = 1(x + 1) \\ \end{aligned} $$
• Para la segunda fracción: $$ \begin{aligned} & [x\cancel{(x - 1)}\cancel{(x + 1)} \div \cancel{(x + 1)}\cancel{(x - 1)}] \cdot 2 \\ & = 2(x) \\ \end{aligned} $$
• Para la tercera fracción (cuidado con el signo menos delantero): $$ \begin{aligned} & [\cancel{x}(x - 1)\cancel{(x + 1)} \div \cancel{x}\cancel{(x + 1)}] \cdot (-1)\\ & = -1(x - 1) \\ \end{aligned} $$

Colocamos todas estas expresiones distribuidas sobre la gran barra del denominador común:

\[ \frac{1(x + 1) + 2x - 1(x - 1)}{x(x - 1)(x + 1)} \]

Destruimos los paréntesis del numerador aplicando la propiedad distributiva con atención en las leyes de signos del extremo derecho (\( -1 \cdot -1 = +1 \)):

\[ \frac{x + 1 + 2x - x + 1}{x(x - 1)(x + 1)} \]

Agrupamos de forma analítica los términos semejantes de la parte superior (las variables \( x + 2x - x = 2x \) y los números constantes \( 1 + 1 = 2 \)):

\[ \frac{2x + 2}{x(x - 1)(x + 1)} \]

¡Último paso maestro! Factorizamos el numerador obtenido extrayendo su factor común numérico \( 2(x + 1) \) para comprobar si podemos reducir la fracción:

\[ \frac{2(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} \]

Cancelamos el binomio idéntico duplicado \( (x + 1) \) que se encuentra multiplicando en ambos extremos de la división:

Resultado final: \[ \frac{2}{x(x - 1)} \]