Ejercicios Resueltos de Simplificación de Fracciones Algebraicas

Prohibido cancelar el \( 4x^2 \) con el \( 4x \) de abajo directamente porque arriba hay una resta. Primero, factorizamos el numerador usando Factor Común Monomio:

\[ 4x^2 - 8x = 4x(x - 2) \]

Reescribimos la fracción con el numerador ya factorizado:

\[ \frac{4x(x - 2)}{4x} \]

Como el bloque \( 4x \) ahora está multiplicando a todo lo demás arriba, podemos simplificarlo de forma lineal con el \( 4x \) del denominador:

Resultado final: \[ x - 2 \]

Extraemos el Factor Común Monomio en el numerador analizando las letras de menor exponente y el MCD numérico:

\[ 5a^3b + 10a^2b = 5a^2b(a + 2) \]

Sustituyes en la fracción original y dejamos el denominador intacto momentáneamente:

\[ \frac{5a^2b(a + 2)}{15a^2b^2} \]

Simplificamos los monomios exteriores de manera independiente sacando quinta parte (\( \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)) y aplicando leyes de exponentes para restar las letras (\( a^2 \) se elimina y queda una \( b \) abajo):

Resultado final: \[ \frac{a + 2}{3b} \]

Observamos el numerador: es una resta de dos términos con raíces cuadradas exactas, es decir, una Diferencia de Cuadrados. Lo factorizamos en binomios conjugados:

\[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

Reescribimos la fracción sustituyendo la nueva forma estructurada:

\[ \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} \]

Identificamos que el factor \( (x - 3) \) se encuentra multiplicando arriba y aparece idéntico abajo; los simplificamos por completo:

Resultado final: \[ x + 3 \]

En este caso debemos aplicar dos métodos de factorización simultáneos:

• En el numerador aplicamos Factor Común Monomio: \[ 2(x - 4) \]
• En el denominador aplicamos Diferencia de Cuadrados: \[ (x + 4)(x - 4) \]

Montamos ambos resultados directamente en la estructura fraccionaria racional:

\[ \frac{2(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} \]

Simplificamos el bloque binómico idéntico repetido \( (x - 4) \):

Resultado final: \[ \frac{2}{x + 4} \]

Factorizamos analizando de forma independiente los dos lados de la división:

• El numerador es un Trinomio Cuadrado Perfecto ya que \( 2 \cdot (a) \cdot (3) = 6a \). Se convierte en: \[ (a + 3)^2 = (a + 3)(a + 3) \]
• El denominador es una Diferencia de Cuadrados ordinaria: \[ (a + 3)(a - 3) \]

Colocamos los factores resultantes ordenados en la fracción lineal:

\[ \frac{(a + 3)(a + 3)}{(a + 3)(a - 3)} \]

Simplificamos un solo bloque de \( (a + 3) \) en la parte superior con el único que hay en la parte inferior:

Resultado final: \[ \frac{a + 3}{a - 3} \]

El numerador es un trinomio de la forma \( x^2 + bx + c \). Para desarmarlo, buscamos dos números que multiplicados den \( +6 \) y sumados den \( -5 \). Esos números son \( -3 \) y \( -2 \):

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \]

Reescribimos la fracción con el trinomio expandido en factores primos:

\[ \frac{(x - 3)(x - 2)}{x - 2} \]

Simplificamos el binomio \( (x - 2) \) que está multiplicando arriba con el término del denominador:

Resultado final: \[ x - 3 \]

Sometemos a escaneo y factorización ambos componentes de la fracción:

• Numerador (\( x^2 + bx + c \)): Buscamos dos números que multiplicados den \( 10 \) y sumados den \( 7 \). Son el \( +5 \) y \( +2 \). Queda: \[ (x + 5)(x + 2) \]
• Denominador (TCP): Las raíces de los extremos son \( x \) y \( 2 \), y su doble producto da \( 4x \). Queda como binomio al cuadrado: \[ (x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) \]

Colocamos la nueva estructura en nuestra línea fraccionaria:

\[ \frac{(x + 5)(x + 2)}{(x + 2)(x + 2)} \]

Eliminamos el factor repetido común \( (x + 2) \) en ambos extremos corporales:

Resultado final: \[ \frac{x + 5}{x + 2} \]

Factorizamos analizando la naturaleza de los polinomios:

• El numerador se resuelve por Factor Común por Agrupación. Agrupamos por parejas \( x(a + b) + y(a + b) \), lo que nos devuelve de forma directa: \[ (a + b)(x + y) \]
• El denominador es una Diferencia de Cuadrados pura: \[ (x + y)(x - y) \]

Sustituimos ambos desarrollos organizados dentro de la fracción:

\[ \frac{(a + b)(x + y)}{(x + y)(x - y)} \]

Identificamos el bloque binómico compartido \( (x + y) \) y lo simplificamos de manera lineal:

Resultado final: \[ \frac{a + b}{x - y} \]

Factorizamos aplicando los conocimientos avanzados de la lección anterior:

• El numerador es un trinomio \( ax^2 + bx + c \). Aplicamos el método AC: multiplicamos \( 3 \cdot (-2) = -6 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( -6 \) y sumados den \( -5 \) (\( -6 \) y \( +1 \)). Reescribimos el medio y agrupamos: $$ \begin{aligned} & \phantom{000} 3x^2 - 6x + x - 2 \\ & = 3x(x - 2) + 1(x - 2) \\ & = (x - 2)(3x + 1) \\ \end{aligned} $$
• El denominador es una Diferencia de Cuadrados: \[ (x + 2)(x - 2) \]

Colocamos los factores resultantes en la fracción estructural:

\[ \frac{(x - 2)(3x + 1)}{(x + 2)(x - 2)} \]

Simplificamos el bloque repetido \( (x - 2) \) que multiplica arriba y divide abajo:

Resultado final: \[ \frac{3x + 1}{x + 2} \]

A primera vista parece confuso, pero nota que todos los términos comparten un factor común numérico \( 2 \). Lo primero que hacemos es extraerlo en ambos lados:

\[ \frac{2(x^2 - 1)}{2(x^2 + 2x + 1)} \]

Podemos simplificar inmediatamente el coeficiente exterior de manera directa \( 2/2 = 1 \). Ahora factorizamos los polinomios limpios que quedaron dentro de los paréntesis:

• El numerador es una Diferencia de Cuadrados: \[ (x + 1)(x - 1) \]
• El denominador es un Trinomio Cuadrado Perfecto: \[ (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) \]

Montamos la última expresión simplificada intermedia:

\[ \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x + 1)} \]

Simplificamos el binomio repetido \( (x + 1) \) de arriba con uno de abajo:

Resultado final: \[ \frac{x - 1}{x + 1} \]