Ejercicios Resueltos de Binomio al Cuadrado

Aplicamos la plantilla de la suma considerando que nuestro primer término es \( x \) y el segundo es \( 4 \):

\[ (x)^2 + 2(x)(4) + (4)^2 \]

Resolvemos el producto del término central y el cuadrado del extremo numérico:

Resultado final: \[ x^2 + 8x + 16 \]

Utilizamos el patrón de la resta. El signo menos central de la fórmula se encarga de regular el doble producto, por lo que los términos dentro de los paréntesis se colocan de forma positiva:

\[ (a)^2 - 2(a)(7) + (7)^2 \]

Resultado final: \[ a^2 - 14 a + 49 \]

Mucha atención aquí. El primer componente completo es \( 3m \). Al elevarlo al cuadrado, la potencia afecta tanto al número como a la letra:

\[ (3m)^2 + 2(3m)(5) + (5)^2 \]

Calculamos los bloques de forma analítica: \( (3m)^2 = 9m^2 \), y el doble producto central genera \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \):

Resultado final: \[ 9m^2 + 30m + 25 \]

Planteamos la estructura de la resta protegiendo los monomios constituyentes con paréntesis:

\[ (2y)^2 - 2(2y)(3z) + (3z)^2 \]

Resolvemos las potencias de los extremos y multiplicamos la terna numérica central:

Resultado final: \[ 4y^2 - 12yz + 9z^2 \]

Al elevar el primer término \( p^3 \) al cuadrado, debemos recurrir a la ley de potencia de otra potencia, donde los exponentes se multiplican de forma directa (\( 3 \cdot 2 = 6 \)):

\[ (p^3)^2 + 2(p^3)(6) + (6)^2 \]

Resultado final: \[ p^6 + 12p^3 + 36 \]

Escribimos la estructura de la resta cuidando de arrastrar todas las variables internas:

\[ (4x^2)^2 - 2(4x^2)(5y^4) + (5y^4)^2 \]

Calculamos de manera independiente cada segmento del polinomio:

• Primer bloque: \( (4x^2)^2 = 16x^4 \)
• Bloque del medio: \( 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40 \rightarrow -40x^2y^4 \)
• Último bloque: \( (5y^4)^2 = 25y^8 \)

Resultado final: \[ 16x^4 - 40x^2y^4 + 25y^8 \]

Para no confundirte con la inversión del signo inicial, usa la plantilla general de la suma e introduce el término \( -a \) con todo y su signo dentro de los paréntesis correspondientes:

\[ (-a)^2 + 2(-a)(3) + (3)^2 \]

Evaluamos con cuidado: cualquier base negativa elevada a un exponente par se vuelve positiva (\( (-a)^2 = a^2 \)). En el término central, la ley de signos arroja negativo (\( +2 \cdot -1 \cdot 3 = -6 \)):

Resultado final: \[ a^2 - 6a + 9 \]

Planteamos los productos algebraicos respetando el tamaño de los coeficientes estipulados:

\[ (10b^2)^2 + 2(10b^2)(9) + (9)^2 \]

Desarrollamos los cuadrados numéricos basales (\( 10^2 = 100 \) y \( 9^2 = 81 \)) junto con el producto multiplicativo intermedio:

Resultado final: \[ 100b^4 + 180b^2 + 81 \]

Sustituimos los términos en la fórmula de la suma. Elevamos la fracción multiplicando de forma independiente numerador y denominador:

\[ \left({\Large \tfrac{1}{2}}x\right)^2 + 2\left({\Large \tfrac{1}{2}}x\right)(4) + (4)^2 \]

Para el término central, la multiplicación del entero \( 2 \) por la fracción \( {\Large \frac{1}{2}} \) se anula dando la unidad (\( 2 \cdot {\Large \frac{1}{2}} = 1 \)), quedándonos solo \( 1 \cdot 4 = 4 \):

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{1}{4}}x^2 + 4x + 16 \]

Este es el reto máximo de la lección. Armamos el desarrollo aplicando de forma rigurosa la fórmula de la resta:

\[ \left({\Large \tfrac{2}{3}}c^3\right)^2 - 2\left({\Large \tfrac{2}{3}}c^3\right)\left({\Large \tfrac{3}{5}}\right) + \left({\Large \tfrac{3}{5}}\right)^2 \]

Efectuamos las operaciones por bloques con cuidado fraccionario ordinario:

• Primer término: \( \left({\Large \frac{2}{3}}\right)^2 = {\Large \frac{4}{9}} \rightarrow {\Large \frac{4}{9}}c^6 \)
• Término central: Multiplicamos los de arriba y los de abajo \( \left( {\Large \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5}} \right) = {\Large \frac{12}{15}} \). Al simplificar extrayendo tercera, obtenemos \( {\Large \frac{4}{5}} \rightarrow -{\Large \frac{4}{5}}c^3 \)
• Último término: \( \left({\Large \frac{3}{5}}\right)^2 = {\Large \frac{9}{25}} \)

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{4}{9}}c^6 - {\Large \tfrac{4}{5}}c^3 + {\Large \tfrac{9}{25}} \]