Ejercicios Resueltos de Factorización por Trinomio Cuadrado Perfecto

Paso 1: Escanear los extremos. Extraemos las raíces cuadradas de las esquinas:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{x^2} = x \)
• Raíz del tercer término: \( \sqrt{9} = 3 \)

Paso 2: Comprobación del doble producto. Multiplicamos las raíces por 2:

\[ 2 \cdot (x) \cdot (3) = 6x \]

Como coincide de forma exacta con el término central (\( 6x \)), confirmamos que es un TCP. Almacenamos las raíces en un paréntesis usando el signo del medio (\( + \)) y elevamos al cuadrado.

Resultado final: \[ (x + 3)^2 \]

Paso 1: Escanear los extremos. Extraemos raíces:

• Raíz de la primera esquina: \( \sqrt{x^2} = x \)
• Raíz de la última esquina: \( \sqrt{25} = 5 \)

Paso 2: Comprobación. Verificamos el término intermedio:

\[ 2 \cdot (x) \cdot (5) = 10x \]

Coincide perfectamente con el centro. Armamos el binomio usando el signo del término central, que en este caso es negativo (\( - \)):

Resultado final: \[ (x - 5)^2 \]

Extraemos raíces cuadradas afectando tanto al número como a la variable de los extremos:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{4x^2} = 2x \)
• Raíz del tercer término: \( \sqrt{9} = 3 \)

Realizamos la prueba de fuego multiplicando de forma lineal:

\[ 2 \cdot (2x) \cdot (3) = 12x \]

El trinomio es perfecto. Agrupamos las raíces elevándolas en bloque al cuadrado:

Resultado final: \[ (2x + 3)^2 \]

Analizamos las esquinas que en esta ocasión contienen variables independientes:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{9a^2} = 3a \)
• Raíz del tercer término: \( \sqrt{16b^2} = 4b \)

Hacemos el test del doble producto:

\[ 2 \cdot (3a) \cdot (4b) = 24ab \]

Es un TCP impecable. Como el signo central es negativo, unimos con resta:

Resultado final: \[ (3a - 4b)^2 \]

Recuerda que sacar la raíz cuadrada de una potencia es equivalente a dividir su exponente exactamente entre 2:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{x^4} = x^2 \)
• Raíz del tercer término: \( \sqrt{49} = 7 \)

Ejecutamos la verificación intermedia:

\[ 2 \cdot (x^2) \cdot (7) = 14x^2 \]

El resultado coincide. El binomio comprimido conserva la potencia cuadrada de la raíz inicial:

Resultado final: \[ (x^2 + 7)^2 \]

Extraemos raíces cuadradas de los extremos independientes:

• Raíz de la variable: \( \sqrt{x^2} = x \)
• Raíz de la fracción: \( \sqrt{ {\Large \frac{1}{4}}} = {\Large \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}} = {\Large \frac{1}{2}} \)

Ejecutamos la prueba multiplicando por 2 (donde los enteros se cancelan de forma lineal):

\[ 2 \cdot (x) \cdot \left( {\Large \tfrac{1}{2}}\right) = {\Large \tfrac{2}{2}}x = 1x = x \]

Coincide de forma exacta con el término central (\( x \)). Unimos las raíces con el signo de resta:

Resultado final: \[ \left(x - {\Large\tfrac{1}{2}}\right)^2 \]

Calculamos de manera cuidadosa las raíces de las fracciones de los extremos:

• Primer elemento: \( \sqrt{ {\Large \frac{4}{9}}a^2} = {\Large \frac{2}{3}}a \)
• Tercer elemento: \( \sqrt{ {\Large \frac{9}{25}}b^2} = {\Large \frac{3}{5}}b \)

Hacemos la prueba de fuego del doble producto multiplicando en línea:

\[ 2 \cdot \left( {\Large \tfrac{2}{3}}a\right) \cdot \left( {\Large \tfrac{3}{5}}b\right) = {\Large \tfrac{12}{15}}ab = \tfrac{4}{5}ab \]

Tras simplificar la fracción sacando tercia, vemos que coincide perfectamente con el término del medio. Armamos el binomio:

Resultado final: \[ \left({\Large\tfrac{2}{3}}a + {\Large\tfrac{3}{5}}b\right)^2 \]

¡Mucho cuidado! Si intentas sacar raíz a \( 12x \) y a \( 36 \) de forma directa, te bloquearás. Primero debemos ordenar el polinomio de mayor a menor exponente respecto a la \( x \):

\[ x^2 + 12x + 36 \]

Ahora aplicamos el método de forma natural:

• Raíces de los extremos: \( \sqrt{x^2} = x \) y \( \sqrt{36} = 6 \)
• Prueba: \( 2 \cdot (x) \cdot (6) = 12x \) (Coincide)

Resultado final: \[ (x + 6)^2 \]

Extraemos raíces cuadradas dividiendo las potencias entre 2 y calculando los enteros correspondientes:

• Raíz del primer término: \( \sqrt{25x^6} = 5x^3 \)
• Raíz del tercer término: \( \sqrt{9y^8} = 3y^4 \)

Comprobamos multiplicando por el doble producto:

\[ 2 \cdot (5x^3) \cdot (3y^4) = 30x^3y^4 \]

Es un TCP. Compactamos en el binomio al cuadrado respetando el signo menos intermedio:

Resultado final: \[ (5x^3 - 3y^4)^2 \]

Si analizas los extremos, \( 3x^3 \) y \( 48x \) no tienen raíces cuadradas perfectas. Siguiendo el flujograma de decisión, aplicamos primero el **Paso 0 (Factor Común Monomio)**, ya que todos los términos comparten la letra \( x \) y se pueden dividir de forma exacta entre 3:

\[ 3x(x^2 - 8x + 16) \]

Ahora, analiza con cuidado lo que quedó dentro del paréntesis: \( (x^2 - 8x + 16) \). Extraemos sus raíces extremas: \( \sqrt{x^2} = x \) y \( \sqrt{16} = 4 \). Probamos: \( 2 \cdot (x) \cdot (4) = 8x \) (Coincide perfectamente).

Escribimos la solución arrastrando el factor monomio inicial afuera:

Resultado final: \[ 3x(x - 4)^2 \]