Ejercicios Resueltos de Trinomio al Cuadrado

Aplicamos de forma directa la fórmula matemática. Elevamos cada variable al cuadrado de forma independiente y luego escribimos el doble producto de las tres parejas combinadas posibles:

Resultado final: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \]

Sustituimos en la plantilla identificando que el tercer componente es el número \( 3 \):

\[ (a)^2 + (b)^2 + (3)^2 + 2(a)(b) + 2(a)(3) + 2(b)(3) \]

Resolvemos el cuadrado numérico de la constante (\( 3^2 = 9 \)) y simplificamos los productos de los bloques del extremo derecho:

Resultado final: \[ a^2 + b^2 + 9 + 2ab + 6a + 6b \]

Para no equivocarnos con la ley de signos, introducimos el término \( -n \) con su respectivo signo negativo encerrado en paréntesis dentro de la estructura base:

\[ (m)^2 + (-n)^2 + (p)^2 + 2(m)(-n) + 2(m)(p) + 2(-n)(p) \]

Evaluamos con cuidado analítico: recuerda que todo término negativo elevado al cuadrado se vuelve positivo (\( (-n)^2 = n^2 \)). En las combinaciones, aplicamos la regla multiplicativa común:

Resultado final: \[ m^2 + n^2 + p^2 - 2mn + 2mp - 2np \]

El primer componente completo es \( 2x \). Al elevarlo al cuadrado, la potencia afecta tanto al número como a la letra (\( (2x)^2 = 4x^2 \)):

\[ (2x)^2 + (y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(y) + 2(2x)(z) + 2(y)(z) \]

Multiplicamos los coeficientes numéricos delanteros de los términos cruzados correspondientes:

Resultado final: \[ 4x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4xz + 2yz \]

Planteamos el desarrollo formal envolviendo cada monomio con su respectivo signo:

\[ (a)^2 + (-b)^2 + (-4)^2 + 2(a)(-b) + 2(a)(-4) + 2(-b)(-4) \]

Resolvemos con atención las potencias y los productos (recuerda que \( \text{menos} \times \text{menos} = \text{más} \) en el último término):

Resultado final: \[ a^2 + b^2 + 16 - 2ab - 8a + 8b \]

Escribimos la ecuación estructural protegiendo cada bloque monómico compuesto:

\[ (3p)^2 + (2q)^2 + (5)^2 + 2(3p)(2q) + 2(3p)(5) + 2(2q)(5) \]

Calculamos los cuadrados de las bases y multiplicamos las ternas numéricas en los productos combinados:

Resultado final: \[ 9p^2 + 4q^2 + 25 + 12qp + 30p + 20q \]

Al elevar términos que ya tienen exponentes al cuadrado, aplicamos la ley de potencia de potencia multiplicando sus exponentes (\( (x^2)^2 = x^4 \)):

\[ (x^2)^2 + (y^2)^2 + (1)^2 + 2(x^2)(y^2) + 2(x^2)(1) + 2(y^2)(1) \]

Resultado final: \[ x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 \]

Planteamos los términos de la plantilla cuidando el signo menos del bloque intermedio:

\[ (2b^3)^2 + (-3c^2)^2 + (2)^2 + 2(2b^3)(-3c^2) + 2(2b^3)(2) + 2(-3c^2)(2) \]

Calculamos minuciosamente cada uno de los seis bloques resultantes:

Resultado final: \[ 4b^6 + 9c^4 + 4 - 12b^3c^2 + 8b^3 - 12c^2 \]

Sustituimos con orden. Elevamos la fracción multiplicando sus componentes y resolvemos los productos combinados:

\[ \left({\Large \tfrac{1}{2}}a\right)^2 + (b)^2 + (2)^2 + 2\left({\Large \tfrac{1}{2}}a\right)(b) + 2\left({\Large \tfrac{1}{2}}a\right)(2) + 2(b)(2) \]

Efectuamos las simplificaciones matemáticas donde el entero \( 2 \) multiplica al término un medio (\( 2 \cdot {\Large \frac{1}{2}} = 1 \)):

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{1}{4}}a^2 + b^2 + 4 + ab + 2a + 4b \]

Escribimos el desarrollo formal protegiendo de forma estricta los signos negativos internos:

\[ \left({\Large \tfrac{2}{3}}x\right)^2 + \left(-{\Large \tfrac{1}{2}}y\right)^2 + \left({\Large \tfrac{3}{2}}\right)^2 + 2\left({\Large \tfrac{2}{3}}x\right)\left(-{\Large \tfrac{1}{2}}y\right) + 2\left({\Large \tfrac{2}{3}}x\right)\left({\Large \tfrac{3}{2}}\right) + 2\left(-{\Large \tfrac{1}{2}}y\right)\left({\Large \tfrac{3}{2}}\right) \]

Resolvemos el bloque multiplicando las fracciones de forma lineal numerador con numerador y denominador con denominador:

• Los tres cuadrados puros: \( \left({\Large \frac{2}{3}}x\right)^2 = {\Large \frac{4}{9}}x^2 \), \( \left(-{\Large \frac{1}{2}}y\right)^2 = {\Large \frac{1}{4}}y^2 \) y \( \left({\Large \frac{3}{2}}\right)^2 = {\Large \frac{9}{4}} \)
• Primer doble producto: \( 2 \cdot {\Large \frac{2}{3}}x \cdot (-{\Large \frac{1}{2}}y) = -{\Large \frac{4}{6}}xy \rightarrow -{\Large \frac{2}{3}}xy \)
• Segundo doble producto: \( 2 \cdot {\Large \frac{2}{3}}x \cdot {\Large \frac{3}{2}} = {\Large \frac{12}{6}}x \rightarrow +2x \)
• Tercer doble producto: \( 2 \cdot (-{\Large \frac{1}{2}}y) \cdot {\Large \frac{3}{2}} = -{\Large \frac{6}{4}}y \rightarrow -{\Large \frac{3}{2}}y \)

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{4}{9}}x^2 + {\Large \tfrac{1}{4}}y^2 + {\Large \tfrac{9}{4}} - {\Large \tfrac{2}{3}}xy + 2x - {\Large \tfrac{3}{2}}y \]