Ejercicios Resueltos de Binomios con Término Común

Identificamos que el término común es \( x \), mientras que los términos no comunes son \( +5 \) y \( +3 \). Aplicamos los tres pasos del atajo:

• Cuadrado del común: \( x^2 \)
• Suma de los no comunes: \( (5 + 3)x = 8x \)
• Producto de los no comunes: \( 5 \cdot 3 = 15 \)

Unimos las tres piezas algebraicas:

Resultado final: \[ x^2 + 8x + 15 \]

Aquí los números son \( +7 \) y \( -2 \). Debemos tener cuidado con la suma algebraica y la ley de signos:

• Cuadrado del común: \( x^2 \)
• Suma del medio: \( (7 + (-2))x = (7 - 2)x = 5x \)
• Producto del final: \( 7 \cdot (-2) = -14 \) (más por menos da menos)

Resultado final: \[ x^2 + 5x - 14 \]

Los términos no comunes son \( -4 \) y \( -6 \). Aplicamos las reglas de los números enteros:

• Cuadrado del común: \( x^2 \)
• Suma del medio: \( (-4 + (-6))x = -10x \) (signos iguales se suman y mantienen el signo)
• Producto del final: \( (-4) \cdot (-6) = +24 \) (menos por menos da más)

Resultado final: \[ x^2 - 10x + 24 \]

El término común en este caso es la letra \( a \). Los números son \( -9 \) y \( +4 \):

• Cuadrado del común: \( a^2 \)
• Suma del medio: \( (-9 + 4)a = -5a \) (se resta y se deja el signo del mayor, que es el 9)
• Producto del final: \( (-9) \cdot 4 = -36 \)

Resultado final: \[ a^2 - 5a - 36 \]

¡Atención! El término común esta vez es \( x^2 \). Debes aplicar la ley de exponentes al elevarlo al cuadrado:

• Cuadrado del común: \( (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4 \)
• Suma del medio: \( (6 + 2) \cdot (x^2) = 8x^2 \) (se multiplica por el término común completo)
• Producto del final: \( 6 \cdot 2 = 12 \)

Resultado final: \[ x^4 + 8x^2 + 12 \]

Los términos numéricos son \( -8 \) y \( +8 \). Veamos qué ocurre al procesarlos:

• Cuadrado del común: \( y^2 \)
• Suma del medio: \( (-8 + 8)y = 0y \). El cero elimina por completo la variable lineal mediante la cancelación algebraica: \( \cancel{0y} \).
• Producto del final: \( (-8) \cdot 8 = -64 \)

Al desaparecer el término intermedio, la expresión se reduce limpiamente:

Resultado final: \[ y^2 - 64 \]

Nota: Este caso especial también se conoce como el producto de binomios conjugados.

El término común es el monomio compuesto \( ab \). Los números son \( +5 \) y \( -9 \):

• Cuadrado del común: \( (ab)^2 = a^2b^2 \) (el exponente afecta a ambas letras)
• Suma del medio: \( (5 - 9)(ab) = -4ab \)
• Producto del final: \( 5 \cdot (-9) = -45 \)

Resultado final: \[ a^2b^2 - 4ab - 45 \]

El bloque idéntico es \( 3x \). Los números no comunes son \( +1 \) y \( +4 \):

• Cuadrado del común: \( (3x)^2 = 9x^2 \) (recuerda elevar tanto el 3 como la x)
• Suma del medio: Primero sumamos los números \( 1 + 4 = 5 \). Luego, multiplicamos ese resultado por el término común: \( 5 \cdot (3x) = 15x \).
• Producto del final: \( 1 \cdot 4 = 4 \)

Resultado final: \[ 9x^2 + 15x + 4 \]

El término común es \( m^3 \) y los números son \( -7 \) y \( -3 \):

• Cuadrado del común: \( (m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6 \)
• Suma del medio: \( (-7 + (-3)) \cdot m^3 = -10m^3 \)
• Producto del final: \( (-7) \cdot (-3) = +21 \)

Resultado final: \[ m^6 - 10m^3 + 21 \]

Mapeamos los componentes: término común = \( 2x^2 \); términos no comunes = \( -5 \) y \( +3 \).

• Cuadrado del común: \( (2x^2)^2 = 4x^4 \)
• Suma del medio: Operamos los números \( -5 + 3 = -2 \). Multiplicamos por el bloque común: \( -2 \cdot (2x^2) = -4x^2 \).
• Producto del final: \( (-5) \cdot 3 = -15 \)

Resultado final: \[ 4x^4 - 4x^2 - 15 \]