Ejercicios Resueltos de Máximo Común Divisor (M.C.D.)
El M.C.D. es el número más grande que divide a dos o más números de forma exacta. Es la herramienta principal para simplificar fracciones y para repartir objetos en grupos iguales lo más grandes posibles.
El Método de la Tabla para el M.C.D.
A diferencia del m.c.m., en el Máximo Común Divisor solo podemos usar números primos que dividan a todos los números de la fila a la vez.
Regla de oro: Si encuentras un número primo que no divide a todos, la tabla se detiene ahí. No se bajan números igual que en el m.c.m.
🎯 Trucos de Agilidad
Números Primos entre sí: Si dos números no comparten ningún divisor (como 8 y 9), su M.C.D. es siempre 1.
El número menor: Si el número más pequeño divide exactamente al mayor (ej. 5 y 10), el M.C.D. es siempre el menor (5).
Bloque de Práctica: Mídete con estos 10 ejercicios de M.C.D.
Ejercicio 1: M.C.D. de 12 y 18
Halla el máximo común divisor de 12 y 18.
Buscamos divisores comunes para ambos:
| 12 | - | 18 | 2 | (ambos son pares) |
| 6 | - | 9 | 3 | (ambos están en la tabla del 3) |
| 2 | - | 3 | -- | (ya no hay divisores comunes) |
Multiplicamos los factores:
\[ 2 \cdot 3 = 6 \]
Resultado: el M.C.D. es 6.
Ejercicio 2: M.C.D. de 24 y 36
Calcula el M.C.D. de 24 y 36.
Buscamos divisores comunes para ambos:
| 24 | - | 36 | 2 |
| 12 | - | 18 | 2 |
| 6 | - | 9 | 3 |
| 2 | - | 3 | -- |
Cálculo: \( 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \)
Resultado: el M.C.D. es 12.
Ejercicio 3: Tres números (12, 16 y 20)
Halla el M.C.D. de 12, 16 y 20.
Buscamos divisores comunes para los tres:
| 12 | - | 16 | - | 20 | 2 |
| 6 | - | 8 | - | 10 | 2 |
| 3 | - | 4 | - | 5 | -- |
Multiplicamos: \( 2 \cdot 2 = 4 \)
Resultado: el M.C.D. es 4.
Ejercicio 4: M.C.D. de 40 y 60
Halla el M.C.D. de 40 y 60.
Buscamos divisores comunes para ambos:
| 40 | - | 60 | 2 |
| 20 | - | 30 | 2 |
| 10 | - | 15 | 5 |
| 2 | - | 3 | -- |
Operación: \( 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20 \)
Resultado: el M.C.D. es 20.
Ejercicio 5: Números que terminan en 5
Calcula el M.C.D. de 30, 45 y 75.
Buscamos divisores comunes para los tres:
| 30 | - | 45 | - | 75 | 3 | (son múltiplos de 3) |
| 10 | - | 15 | - | 25 | 5 | (terminan en 0 o 5) |
| 2 | - | 3 | - | 5 | -- | (no hay divisores comunes) |
Factores: \( 3 \cdot 5 = 15 \)
Resultado: el M.C.D. es 15.
Ejercicio 6: Problema de trozos iguales
Tienes dos cuerdas de 18 y 24 metros. Quieres cortarlas en trozos iguales lo más largos posibles. ¿Cuánto medirá cada trozo?
Debemos hallar el M.C.D. de 18 y 24:
| 18 | - | 24 | 2 |
| 9 | - | 12 | 3 |
| 3 | - | 4 | -- |
Cálculo: \( 2 \cdot 3 = 6 \)
Resultado: Cada trozo medirá 6 metros.
Ejercicio 7: Números de mil
Halla el M.C.D. de 1.000 y 1.500.
Buscamos divisores comunes para ambos:
| 1.000 | - | 1.500 | 2 |
| 500 | - | 750 | 2 |
| 250 | - | 375 | 5 |
| 50 | - | 75 | 5 |
| 10 | - | 15 | 5 |
| 2 | - | 3 | -- |
Multiplicamos: \( 2^2 \cdot 5^3 \)
\[ = 4 \cdot 125 = 500 \]
Resultado: el M.C.D. es 500.
Ejercicio 8: Números primos entre sí
Calcula el M.C.D. de 14 y 15.
Intentamos buscar divisores:
- 14 es divisible por 2 y 7.
- 15 es divisible por 3 y 5.
Como no comparten ningún divisor primo el M.C.D. es 1.
Ejercicio 9: M.C.D. de 27 y 81
Calcula el M.C.D. de 27 y 81.
Como el 27 divide al 81, el M.C.D. debe ser 27:
| 27 | - | 81 | 3 |
| 9 | - | 27 | 3 |
| 3 | - | 9 | 3 |
| 1 | - | 3 | -- |
Multiplicamos: \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
Resultado: el M.C.D. es 27.
Ejercicio 10: Reto con números grandes
Halla el M.C.D. de 1.200 y 1.800.
Buscamos divisores comunes para ambos:
| 1.200 | - | 1.800 | 2 |
| 600 | - | 900 | 2 |
| 300 | - | 450 | 2 |
| 150 | - | 225 | 3 |
| 50 | - | 75 | 5 |
| 10 | - | 15 | 5 |
| 2 | - | 3 | -- |
Operación: \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
\[ = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600 \]
Resultado: el M.C.D. es 600.
⚠️ Errores comunes
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- No parar a tiempo: El error más común es seguir dividiendo como en el m.c.m. Recuerda: en el M.C.D. solo divides si el primo sirve para TODOS los números de la fila.
- Olvidar el 1: Si dos números no tienen divisores comunes, el M.C.D. no es 0, es 1.
- Confundir con el m.c.m.: El M.C.D. siempre será un número igual o menor que los números originales.
Preguntas Frecuentes
¿Para qué sirve el M.C.D. en las fracciones?
Es la mejor herramienta para simplificar. Si tienes una fracción como \({\Large \frac{12}{18}} \), divides ambos entre su M.C.D. (6) y obtienes la fracción irreducible \({\Large \frac{2}{3}} \) en un solo paso.
¿Puedo usar el método de potencias?
Sí. Si factorizas los números por separado, el M.C.D. es el producto de los factores comunes al menor exponente.
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