Ejercicios Resueltos de Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
El m.c.m. de dos o más números es el número más pequeño (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos a la vez. Es fundamental para encontrar denominadores comunes en las fracciones.
Cómo calcularlo con la Tabla Cruz
El método más eficiente consiste en colocar los números en una fila y dividirlos simultáneamente por números primos hasta que todos lleguen a 1.
Regla de oro: Si un número no es divisible por el primo que estamos usando, simplemente lo bajamos igual a la siguiente fila.
🎯 Trucos de Agilidad
Números Primos: Si los números que comparas son primos (como 3 y 5), el m.c.m. es simplemente su multiplicación (\( 3 \cdot 5 = 15 \)).
El número mayor: Si el número más grande es múltiplo de los pequeños (ej. 4 y 8), el m.c.m. es siempre el mayor (8).
Bloque de Práctica: Mídete con estos 10 ejercicios de m.c.m.
Ejercicio 1: m.c.m. de 4 y 6
Halla el mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 4 | - | 6 | 2 |
| 2 | - | 3 | 2 |
| 1 | - | 3 | 3 |
| 1 | - | 1 |
Multiplicamos los factores de la derecha: \( 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \)
Resultado: el m.c.m. es 12.
Ejercicio 2: m.c.m. de 3, 4 y 8
Calcula el m.c.m. de 3, 4 y 8.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 3 | - | 4 | - | 8 | 2 |
| 3 | - | 2 | - | 4 | 2 |
| 3 | - | 1 | - | 2 | 2 |
| 3 | - | 1 | - | 1 | 3 |
| 1 | - | 1 | - | 1 |
Multiplicamos:
\[ 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \]
Resultado: el m.c.m. es 24.
Ejercicio 3: Múltiplos de 10 y 15
Halla el m.c.m. de 10 y 15.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 10 | - | 15 | 2 |
| 5 | - | 15 | 3 |
| 5 | - | 5 | 5 |
| 1 | - | 1 |
Operación: \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \)
Resultado: el m.c.m. es 30.
Ejercicio 4: Números primos involucrados (5 y 7)
Halla el m.c.m. de 5, 7 y 10.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 5 | - | 7 | - | 10 | 2 |
| 5 | - | 7 | - | 5 | 5 |
| 1 | - | 7 | - | 1 | 7 |
| 1 | - | 1 | - | 1 |
Multiplicamos: \( 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 \)
Resultado: el m.c.m. es 70.
Ejercicio 5: Números medianos (12 y 18)
Calcula el m.c.m. de 12, 18 y 24.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 12 | - | 18 | - | 24 | 2 |
| 6 | - | 9 | - | 12 | 2 |
| 3 | - | 9 | - | 6 | 2 |
| 3 | - | 9 | - | 3 | 3 |
| 1 | - | 3 | - | 1 | 3 |
| 1 | - | 1 | - | 1 |
Factores: \( 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \)
Resultado: el m.c.m. es 72.
Ejercicio 6: Problema de coincidencia
Un faro parpadea cada 12 segundos y otro cada 15 segundos. ¿Cada cuánto tiempo coinciden?
Debemos hallar el m.c.m. de 12 y 15:
| 12 | - | 15 | 2 |
| 6 | - | 15 | 2 |
| 3 | - | 15 | 3 |
| 1 | - | 5 | 5 |
| 1 | - | 1 |
Cálculo: \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)
Resultado: Coinciden cada 60 segundos (1 minuto).
Ejercicio 7: Números de mil
Halla el m.c.m. de 1.000 y 1.500.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 1.000 | - | 1.500 | 2 |
| 500 | - | 750 | 2 |
| 250 | - | 375 | 2 |
| 125 | - | 375 | 3 |
| 125 | - | 125 | 5 |
| 25 | - | 25 | 5 |
| 5 | - | 5 | 5 |
| 1 | - | 1 |
Multiplicamos: \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^3 \)
\[ = 8 \cdot 3 \cdot 125 = 3.000 \]
Resultado: el m.c.m. es 3.000.
Ejercicio 8: Números consecutivos (9 y 10)
Calcula el m.c.m. de 9 y 10.
Como no tienen divisores comunes (excepto el 1), multiplicamos directamente:
\[ 9 \cdot 10 = 90 \]
Resultado: el m.c.m. es 90.
Ejercicio 9: Cuatro números
Halla el m.c.m. de 2, 4, 6 y 12.
Nota: Como 12 es múltiplo de todos los demás, el resultado debe ser 12.
| 2 | - | 4 | - | 6 | - | 12 | 2 |
| 1 | - | 2 | - | 3 | - | 6 | 2 |
| 1 | - | 1 | - | 3 | - | 3 | 3 |
| 1 | - | 1 | - | 1 | - | 1 |
\[ 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \]
Resultado: Se comprueba que el m.c.m. es 12.
Ejercicio 10: Reto de alta complejidad
Halla el m.c.m. de 120 y 150.
Aplicamos la tabla de descomposición simultánea:
| 120 | - | 150 | 2 |
| 60 | - | 75 | 2 |
| 30 | - | 75 | 2 |
| 15 | - | 75 | 3 |
| 5 | - | 25 | 5 |
| 1 | - | 5 | 5 |
| 1 | - | 1 |
Operación: \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
\[ = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600 \]
Resultado: el m.c.m. es 600.
⚠️ Errores frecuentes
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más comunes para que los evites:
- No llegar hasta el 1: En la tabla de m.c.m. todos los números deben terminar en 1. Si uno llega antes, lo dejas ahí y sigues con los demás.
- Olvidar multiplicar un factor: Al terminar la tabla, asegúrate de multiplicar todos los números de la columna derecha.
- Confundir con el M.C.D.: En el m.c.m. buscamos un número igual o mayor que los originales, nunca menor.
Preguntas Frecuentes
¿Se puede usar el m.c.m. con fracciones?
¡Es su uso principal! Por ejemplo, para sumar \( {\Large \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} \), usamos el m.c.m. (12) como nuevo denominador común.
¿Existe el m.c.m. de números negativos?
En el nivel escolar se trabaja solo con números naturales. Si aparecen negativos, se calcula el m.c.m. de sus valores absolutos (positivos).
🚀 Sigue aprendiendo Divisibilidad
Explora nuestros otros subtemas:
Divisibilidad (Menú Principal)
Regresa al catálogo general para revisar todos los módulos del pilar Divisibilidad.
Lección Anterior: Descomposición en Primos
Aprende a desarmar cualquier número compuesto en una multiplicación de números primos.
Siguiente: Máximo Común Divisor
Ideal para simplificar fracciones y resolver problemas de reparto equitativo.
Números Primos y Compuestos
Identifica los números "atómicos" que no pueden dividirse más.