Inecuaciones Fraccionarias: Ejercicios Resueltos Paso a Paso (2026)

Ejercicios Resueltos de Inecuaciones Fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias o racionales contienen la incógnita en el denominador. Para resolverlas, es fundamental unificar expresiones algebraicas, identificar restricciones para evitar divisiones por cero y analizar el comportamiento de signos mediante puntos críticos.

Pasos para Resolver Inecuaciones Fraccionarias

Una inecuación racional tiene la forma general:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 \quad \text{o} \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0 \]

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \quad \text{o} \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \]

Para hallar su intervalo solución se aplican los siguientes pasos metódicos:

  1. Igualar a Cero: Traslada todos los términos a un solo lado de la desigualdad dejando cero en el otro miembro. Ejemplo: \[ \frac{2}{x-1} ≤ - \frac{1}{x+3} \] \[ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+3} ≤ 0 \]

  2. Operar Fracciones: Si hay sumas o restas de fracciones, halla el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) para unificar todo en una sola fracción. \[ \frac{2(x+3)+1(x-1)}{(x-1)(x+3)} ≤ 0 \]

  3. Factorizar: Reduce el numerador y factoriza al máximo tanto el numerador \(P(x)\) como el denominador \(Q(x)\). \[ \frac{3x+5}{(x-1)(x+3)} ≤ 0 \]

  4. Hallar Puntos Críticos: Puntos críticos del numerador: valores donde \(P(x) = 0\). Puntos críticos del denominador: valores donde \(Q(x) = 0\). \[ 3x + 5 = 0 \implies x = -{\Large \tfrac{5}{3}} \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] \[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]

  5. Regla de Oro del Denominador: Los puntos críticos que provienen del denominador NUNCA pueden formar parte de la solución, ya que la división por cero no existe en los números reales. Por ello, siempre llevan corchetes abiertos ] o [. \[ x = 1 \quad \text{y} \quad x = -3 \quad \text{van abiertos} \]

  6. Definir intervalos: Cada punto crítico divide la recta real en intervalos. Los puntos extremos quedan acompañados por \(\pm \infty\). \[ ]-\infty, -3[, ]-3,-5/3[, ]-5/3, 1[, ]1, +\infty[ \]

  7. Tabla de Signos y Solución: Grafica los puntos en la recta real, evalúa el signo de la fracción en cada franja y selecciona los intervalos según el sentido de la desigualdad.
]-∞,-3[ -3 ]-3,-5/3[ -5/3 ]-5/3,1[ 1 ]1,+∞[
3x+5 - - - 0 + + +
x-1 - - - - - 0 +
x+3 - 0 + + + + +
P/Q - ∄ + 0 - ∄ +

Buscamos los intervalos donde la expresión es menor o igual a cero \(\le 0\), es decir, los que tienen signo negativo \(-\):

\[ ]-\infty, -3[ \cup \left[-{\Large \tfrac{5}{3}}, 1\right[ \]

NUNCA pases un denominador multiplicando al otro lado de la desigualdad. Como no conoces el signo de la variable \(x\), no sabes si el denominador es positivo o negativo, por lo que podrías estar alterando el sentido de la desigualdad sin saberlo. El camino rápido y seguro siempre es trasladar restando, sacar m.c.m. e igualar a cero.

🎯 Cómo hacer La Tabla de Signos

1. Ubicar los puntos críticos en la parte superior de la tabla, de menor a mayor.

2. Crear los intervalos entre cada punto crítico.

3. Ubicar los binomios de la factorización al lado izquierdo de la tabla.

En caso de que la \(x\) de un binomio quede negativa, conviene multiplicar la inecuación por \(-1\) y dar vuelta el símbolo de desigualdad.

4. Evaluar los signos de cada binomio en cada tramo.

5. Multiplicar los signos de cada intervalo.

6. Asignar ∄ a todos los puntos del denominador.

Si por ejemplo los puntos críticos son \(a\) y \(b\) (fracción (x-b)/(x-a)), la tabla se vería así:

]-∞, a[ a ]a, b[ b ]b, +∞[
x - a - 0 + + +
x - b - - - 0 +
P/Q + ∄ - 0 +

📝 Bloque de Práctica: 10 Casos de Inecuaciones Fraccionarias

Ejercicios clasificados desde estructuras directas hasta sumas de 2 y 3 fracciones algebraicas con factorización:

Ejercicio 1: Inecuación Fraccionaria Directa

Resuelve la desigualdad: \[\frac{x - 3}{x + 2} \le 0\]

1) Identificar puntos críticos:

Numerador (se incluye por ser \(\le\)): \[x - 3 = 0 \implies x = 3\]

Denominador (se excluye): \[x + 2 = 0 \implies x = -2\]

2) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 3[\) y \(]3, +\infty[\).

]-∞,-2[ -2 ]-2,3[ 3 ]3,+∞[
x-3 - - - 0 +
x+2 - 0 + + +
P/Q + ∄ - 0 +

3) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores menores o iguales a cero, por lo que tomamos la región negativa.

Solución en Intervalo: \(]-2, 3]\)

Ejercicio 2: Fracción Comparada con una Constante

Resuelve: \[\frac{x + 1}{x - 4} > 2\]

1) Trasladar el 2 e igualar a cero:

\[ \frac{x + 1}{x - 4} - 2 > 0 \]

2) Operar mediante m.c.m.:

\[ \frac{(x + 1) - 2(x - 4)}{x - 4} > 0 \]

\[ \frac{x + 1 - 2x + 8}{x - 4} > 0 \]

\[ \frac{-x + 9}{x - 4} > 0 \]

3) Identificar puntos críticos:

Numerador \(x = 9\) (abierto) y denominador \(x = 4\) (abierto).

4) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, 4[\), \(]4, 9[\) y \(]9, +\infty[\).

]-∞,4[ 4 ]4,9[ 9 ]9,+∞[
-x+9 + + + 0 -
x-4 - 0 + + +
P/Q - ∄ + 0 -

5) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente mayores a cero. La fracción resulta positiva únicamente entre 4 y 9.

Solución en Intervalo: \(]4, 9[\)

Ejercicio 3: Suma de 2 Fracciones Simples

Resuelve: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} \ge 0\]

1) Obtener el m.c.m. de los denominadores: \(x(x - 2)\)

Aplicando multiplicación cruzada:

\[ \frac{(x - 2) + x}{x(x - 2)} \ge 0 \]

\[ \frac{2x - 2}{x(x - 2)} \ge 0 \]

\[ \frac{2(x - 1)}{x(x - 2)} \ge 0 \]

2) Puntos críticos:

Numerador: \(x = 1\) (incluido por ser \(\ge\)).

Denominador: \(x = 0\) y \(x = 2\) (excluidos obligatoriamente).

3) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, 0[\), \(]0, 1[\), \(]1, 2[\) y \(]2, +\infty[\).

]-∞,0[ 0 ]0,1[ 1 ]1,2[ 2 ]2,+∞[
x-1 - - - 0 + + +
x - 0 + + + + +
x-2 - - - - - 0 +
P/Q - ∄ + 0 - ∄ +

4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores mayores o iguales a cero. La fracción resulta positiva únicamente entre 0 y 1 (incluido 1), y mayores a 2.

Solución en Intervalo:

\[ ]0, 1] \cup ]2, +\infty[ \]

Ejercicio 4: Factorización en el Numerador

Resuelve: \[\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1} < 0\]

1) Factorizar el trinomio del numerador:

\[ \frac{(x - 2)(x - 3)}{x + 1} < 0 \]

2) Puntos críticos (todos abiertos por ser desigualdad estricta):

Numerador: \(x = 2\) y \(x = 3\).

Denominador: \(x = -1\).

3) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -1[\), \(]-1, 2[\), \(]2, 3[\) y \(]3, +\infty[\).

]-∞,-1[ -1 ]-1,2[ 2 ]2,3[ 3 ]3,+∞[
x-2 - - - 0 + + +
x-3 - - - - - 0 +
x+1 - 0 + + + + +
P/Q - ∄ + 0 - 0 +

4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente menores a cero. Los tramos negativos son los menores que \(-1\) y los comprendidos entre \(2\) y \(3\).

Solución en Intervalo:

\[ ]-\infty, -1[ \cup ]2, 3[ \]

Ejercicio 5: Factorización en el Denominador

Resuelve la desigualdad: \[\frac{x - 1}{x^2 - 4} \le 0\]

1) Factorizar la diferencia de cuadrados en el denominador:

\[ \frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)} \le 0 \]

2) Puntos críticos:

Numerador: \(x = 1\) (cerrado, incluido).

Denominador: \(x = -2\) y \(x = 2\) (abiertos, excluidos).

3) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 1[\), \(]1, 2[\) y \(]2, +\infty[\).

]-∞,-2[ -2 ]-2,1[ 1 ]1,2[ 2 ]2,+∞[
x-1 - - - 0 + + +
x-2 - - - - - 0 +
x+2 - 0 + + + + +
P/Q - ∄ + 0 - ∄ +

4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores menores o iguales a cero. Los tramos negativos son los menores que \(-2\) y los comprendidos entre \(1\) (incluido) y \(2\).

Solución en Intervalo:

\[ ]-\infty, -2[ \cup [1, 2[ \]

Ejercicio 6: Resta de 2 Fracciones Algebraicas

Resuelve: \[\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 3} \le 0\]

1) Reducir a una sola fracción mediante m.c.m. \((x - 1)(x + 3)\):

Aplicando multiplicación cruzada:

\[ \frac{x(x + 3) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} \le 0 \]

\[ \frac{x^2 + 3x - 2x + 2}{(x - 1)(x + 3)} \le 0 \]

\[ \frac{x^2 + x + 2}{(x - 1)(x + 3)} \le 0 \]

2) Analizar el numerador: El trinomio \(x^2 + x + 2\) tiene discriminante negativo (\(\Delta = 1 - 8 = -7\)) y coeficiente \(a = 1 > 0\), por lo que es siempre positivo para todo \(x\) real y no aporta puntos críticos.

3) Puntos críticos del denominador: \(x = 1\) y \(x = -3\) (ambos abiertos).

4) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -3[\), \(]-3, 1[\) y \(]1, +\infty[\).

]-∞,-3[ -3 ]-3,1[ 1 ]1,+∞[
x-1 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
P/Q + ∄ - ∄ +

5) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores menores o iguales a cero. Como el numerador siempre es positivo, la expresión nunca es cero y es negativa únicamente cuando el denominador es negativo.

Solución en Intervalo: \(]-3, 1[\)

Ejercicio 7: Suma y Resta de 3 Fracciones

Resuelve: \[\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x} < 0\]

1) Unificar las 3 fracciones con m.c.m. \(x(x - 2)(x + 2)\):

\[ \frac{x(x + 2) + x(x - 2) - 2(x^2 - 4)}{x(x - 2)(x + 2)} < 0 \]

\[ \frac{(x^2 + 2x) + (x^2 - 2x) - (2x^2 - 8)}{x(x - 2)(x + 2)} < 0 \]

\[ \frac{2x^2 - 2x^2 + 8}{x(x - 2)(x + 2)} < 0 \]

\[ \frac{8}{x(x - 2)(x + 2)} < 0 \]

2) Puntos críticos: Provienen únicamente del denominador: \(x = -2\), \(x = 0\) y \(x = 2\) (todos abiertos).

3) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 0[\), \(]0, 2[\) y \(]2, +\infty[\).

]-∞,-2[ -2 ]-2,0[ 0 ]0,2[ 2 ]2,+∞[
x - - - 0 + + +
x-2 - - - - - 0 +
x+2 - 0 + + + + +
8/Q - ∄ + ∄ - ∄ +

4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente menores a cero. Los tramos negativos son los menores que \(-2\) y los comprendidos entre \(0\) y \(2\).

Solución en Intervalo:

\[ ]-\infty, -2[ \cup ]0, 2[ \]

Ejercicio 8: Factorización Simultánea en Numerador y Denominador

Resuelve la desigualdad: \[\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} \ge 0\]

1) Factorizar completamente ambos términos:

\[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0 \]

2) Registrar restricciones y simplificar: El factor \((x - 2)\) está en el denominador, por lo que obligatoriamente \(x \neq 2\). Simplificando el término idéntico queda:

\[ \frac{x + 2}{x - 1} \ge 0 \quad \text{con } x \neq 2 \]

3) Puntos críticos: Numerador \(x = -2\) (cerrado), denominador \(x = 1\) (abierto), y la restricción \(x \neq 2\) (abierto).

4) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 1[\), \(]1, 2[\) y \(]2, +\infty[\).

]-∞,-2[ -2 ]-2,1[ 1 ]1,2[ 2 ]2,+∞[
x-1 - - - 0 + + +
x+2 - 0 + + + + +
P/Q + 0 - ∄ + ∄ +

5) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores mayores o iguales a cero. Los tramos positivos son los menores que \(-2\) (incluido) y los comprendidos entre \(1\) y \(2\), y mayores a \(2\).

Solución en Intervalo:

\[ ]-\infty, -2] \cup ]1, 2[ \cup ]2, +\infty[ \]

Ejercicio 9: Operación Combinada con 3 Fracciones Algebraicas

Resuelve: \[\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x} \le 0\]

1) Operar las 3 fracciones mediante m.c.m. \(x(x - 1)(x + 1)\):

\[ \frac{x(x + 1) + 2x(x - 1) - 3(x^2 - 1)}{x(x - 1)(x + 1)} \le 0 \]

\[ \frac{(x^2 + x) + (2x^2 - 2x) - (3x^2 - 3)}{x(x - 1)(x + 1)} \le 0 \]

\[ \frac{3x^2 - x - 3x^2 + 3}{x(x - 1)(x + 1)} \le 0 \]

\[ \frac{-x + 3}{x(x - 1)(x + 1)} \le 0 \]

2) Multiplicar el numerador por \(-1\) e invertir la desigualdad:

\[ \frac{x - 3}{x(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \]

3) Puntos críticos: Numerador \(x = 3\) (cerrado). Denominador \(x = -1\), \(x = 0\) y \(x = 1\) (todos abiertos).

4) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -1[\), \(]-1, 0[\), \(]0, 1[\), \(]1, 3[\) y \(]3, +\infty[\).

]-∞,-1[ -1 ]-1,0[ 0 ]0,1[ 1 ]1,3[ 3 ]3,+∞[
x-1 - - - - - 0 + + +
x+1 - 0 + + + + + + +
x-3 - - - - - - - 0 +
x - - - 0 + + + + +
P/Q + ∄ - ∄ + ∄ - 0 +

5) Seleccionar la solución: La inecuación invertida pide valores mayores o iguales a cero. Los tramos positivos son los menores que \(-1\) y los comprendidos entre \(0\) y \(1\), y mayores a \(3\) (incluido).

Solución en Intervalo:

\[ ]-\infty, -1[ \cup ]0, 1[ \cup [3, +\infty[ \]

Ejercicio 10: Suma de Fracciones con Denominador Cuadrático Reducible

Resuelve: \[\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1} > 0\]

1) Factorizar el primer denominador: \[(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)\]

Se amplifica la segunda fracción por \((x + 1)\):

\[ \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} > 0 \]

2) Restar numeradores sobre la misma base:

\[ \frac{2x - (x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0 \]

\[ \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} > 0 \]

3) Simplificar factores y registrar restricciones: Dado que \((x - 1)\) anula el denominador, la condición es \(x \neq 1\). La expresión equivalente es:

\[ \frac{1}{x + 1} > 0 \quad \text{con } x \neq 1 \]

4) Puntos críticos y exclusiones: \(x = -1\) (abierto) y \(x = 1\) (abierto por restricción).

5) Evaluar la tabla de signos:

Intervalos generados: \(]-\infty, -1[\), \(]-1, 1[\) y \(]1, +\infty[\).

]-∞,-1[ -1 ]-1,1[ 1 ]1,+∞[
x+1 - 0 + + +
1/Q - ∄ + ∄ +

3) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente mayores a cero, por lo que tomamos la región positiva excluyendo el 1.

Solución en Intervalo:

\[ ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[ \]

⚠️ Errores Comunes

  • Pasar denominadores multiplicando: Eliminar el denominador como si fuera una ecuación, perdiendo el análisis de signos.
  • Cerrar corchetes en el denominador: Colocar [ o ] en los puntos críticos del denominador, provocando divisiones por cero indeterminadas.
  • Olvidar las restricciones tras simplificar: Eliminar binomios idénticos en numerador y denominador sin excluir previamente el valor crítico prohibido.

Preguntas Frecuentes

¿Por qué el punto crítico del denominador NUNCA lleva corchete cerrado?

Porque evaluar la inecuación en un punto crítico del denominador provoca una división por cero, una operación indeterminada en matemáticas. Por ello, esos puntos siempre llevan corchetes abiertos ] o [.

¿Qué pasa si al simplificar una fracción desaparece el denominador con variable?

Debes anotar la restricción al margen (por ejemplo, \(x \neq a\)). Aunque la variable no aparezca en la versión simplificada, ese valor debe extraerse con un corchete abierto en la respuesta final.

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