Ejercicios Resueltos de Inecuaciones de Primer Grado
Las inecuaciones de primer grado o lineales son la puerta de entrada al estudio de las desigualdades algebraicas. Domina las reglas de despeje, el manejo de coeficientes negativos y la expresión de soluciones mediante notación de intervalos y representaciones en la recta real.
¿Qué es una Inecuación Lineal?
Una inecuación de primer grado es una desigualdad algebraica donde la incógnita o variable tiene exponente 1. Su forma general se reduce a cualquiera de las siguientes expresiones:
\[ ax + b < 0 \quad \text{o} \quad ax + b > 0 \]
\[ ax + b \le 0 \quad \text{o} \quad ax + b \ge 0 \]
donde \(a\) y \(b\) son números reales y \(a \neq 0\).
- Estructura de Despeje: Se despeja exactamente igual que una ecuación lineal tradicional (sumando, restando, multiplicando o dividiendo términos a ambos lados de la desigualdad).
- La Regla Fundamental del Signo Negativo: Si multiplicas o divides ambos miembros de una inecuación por un número negativo, el sentido del símbolo de desigualdad se invierte obligatoriamente (por ejemplo, \(<\) cambia a \(>\), y \(\le\) cambia a \(\ge\)).
- Inecuaciones Dobles o Compuestas: Tienen la forma \(a < bx + c \le d\). Para resolverlas, se aplican las operaciones de despeje simultáneamente en los tres miembros de la desigualdad.
- Expresión de la Solución: La solución de una inecuación de primer grado representa una semirrecta continua de números reales, por lo que suele expresarse mediante notación de intervalos (ej. \(]-\infty, 3]\)) y su correspondiente representación gráfica.
🎯 Trucos de Agilidad para Inecuaciones Lineales
Aplica estos consejos estratégicos para evitar errores de signo y agilizar tus cálculos:
- Evita dividir entre negativos moviendo la variable: Si tienes \(-3x > 9\), en lugar de dividir por \(-3\) e invertir el signo, puedes pasar la variable sumando al lado derecho. Es matemáticamente equivalente y elimina el riesgo de olvidar la regla del signo: \[ 0 > 9 + 3x \implies -9 > 3x \] \[ \implies -3 > x \]
- Elimina denominadores al inicio: Si la inecuación contiene fracciones, multiplica todos los términos por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Como el m.c.m. siempre es un número positivo, los denominadores desaparecen sin alterar el sentido de la desigualdad.
📝 Bloque de Práctica: 10 Casos de Inecuaciones de Primer Grado
Practica desde inecuaciones simples hasta modelos con paréntesis, fracciones y desigualdades dobles:
Ejercicio 1: Inecuación Lineal Básica
Resuelve la inecuación: \[3x - 5 > 7\]
1) Sumar 5 en ambos miembros:
\[ 3x > 7 + 5 \]
\[ 3x > 12 \]
2) Dividir entre 3 (número positivo, el signo no cambia):
\[ x > \frac{12}{3} \]
\[ x > 4 \]
Solución en Intervalo: \(]4, +\infty[\)
Ejercicio 2: Variables en Ambos Miembros
Resuelve la desigualdad: \[5x + 4 \le 2x - 5\]
1) Agrupar términos con \(x\) a la izquierda y constantes a la derecha:
\[ 5x - 2x \le -5 - 4 \]
\[ 3x \le -9 \]
2) Dividir entre 3:
\[ x \le \frac{-9}{3} \]
\[ x \le -3 \]
Solución en Intervalo: \(]-\infty, -3]\)
Ejercicio 3: Coeficiente Negativo (Inversión del Signo)
Resuelve la inecuación: \[-4x + 6 \ge 18\]
1) Restar 6 en ambos miembros:
\[ -4x \ge 18 - 6 \]
\[ -4x \ge 12 \]
2) Dividir entre \(-4\) e invertir el sentido de la desigualdad (\(\ge\) pasa a \(\le\)):
\[ x \le \frac{12}{-4} \]
\[ x \le -3 \]
Solución en Intervalo: \(]-\infty, -3]\)
Ejercicio 4: Uso de Propiedad Distributiva y Paréntesis
Resuelve: \[2(x - 3) - 3(x + 1) < 5\]
1) Expandir los paréntesis:
\[ 2x - 6 - 3x - 3 < 5 \]
2) Simplificar términos semejantes:
\[ -x - 9 < 5 \]
3) Despejar la variable:
\[ -x < 5 + 9 \]
\[ -x < 14 \]
4) Multiplicar por \(-1\) e invertir la desigualdad:
\[ x > -14 \]
Solución en Intervalo: \(]-14, +\infty[\)
Ejercicio 5: Inecuación Lineal con Fracciones
Resuelve la desigualdad: \[\frac{x}{2} - \frac{1}{3} \ge \frac{x}{4} + \frac{1}{6}\]
1) Multiplicar toda la inecuación por el m.c.m.(2, 3, 4, 6) = 12:
\[ 12 \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{3}\right) \ge 12 \cdot \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{6}\right) \]
\[ 6x - 4 \ge 3x + 2 \]
2) Agrupar y despejar:
\[ 6x - 3x \ge 2 + 4 \]
\[ 3x \ge 6 \]
\[ x \ge 2 \]
Solución en Intervalo: \([2, +\infty[\)
Ejercicio 6: Inecuación Doble o Compuesta
Resuelve la desigualdad doble: \[-3 < 2x + 1 \le 9\]
1) Restar 1 en los tres miembros de la desigualdad:
\[ -3 - 1 < 2x \le 9 - 1 \]
\[ -4 < 2x \le 8 \]
2) Dividir entre 2 los tres miembros:
\[ \frac{-4}{2} < x \le \frac{8}{2} \]
\[ -2 < x \le 4 \]
Solución en Intervalo: \(]-2, 4]\)
Ejercicio 7: Fracción con Incógnita en el Numerador y Coeficiente Negativo
Resuelve la inecuación: \[\frac{3 - 2x}{5} > 1\]
1) Multiplicar ambos lados por 5 (número positivo):
\[ 3 - 2x > 5 \]
2) Restar 3 a ambos lados:
\[ -2x > 5 - 3 \]
\[ -2x > 2 \]
3) Dividir entre \(-2\) e invertir la desigualdad:
\[ x < \frac{2}{-2} \]
\[ x < -1 \]
Solución en Intervalo: \(]-\infty, -1[\)
Ejercicio 8: Productos Notables que se Reducen a 1er Grado
Resuelve: \[(x + 2)^2 \le x^2 + 8\]
1) Desarrollar el cuadrado del binomio:
\[ x^2 + 4x + 4 \le x^2 + 8 \]
2) Restar \(x^2\) a ambos lados (se cancelan los términos cuadráticos):
\[ 4x + 4 \le 8 \]
3) Despejar \(x\):
\[ 4x \le 8 - 4 \]
\[ 4x \le 4 \]
\[ x \le 1 \]
Solución en Intervalo: \(]-\infty, 1]\)
Ejercicio 9: Inecuación Doble con Fracciones
Resuelve: \[1 \le \frac{3x - 2}{4} < 4\]
1) Multiplicar los tres miembros por 4:
\[ 4 \le 3x - 2 < 16 \]
2) Sumar 2 en los tres miembros:
\[ 4 + 2 \le 3x < 16 + 2 \]
\[ 6 \le 3x < 18 \]
3) Dividir entre 3 los tres miembros:
\[ 2 \le x < 6 \]
Solución en Intervalo: \([2, 6[\)
Ejercicio 10: Aplicación Contextualizada Simple
Un servicio de alquiler de vehículos cobra un monto fijo de 20 USD más 0.50 USD por cada kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros \(k\) se pueden recorrer si se dispone de un presupuesto máximo de 70 USD?
1) Plantear la inecuación del costo total:
\[ 20 + 0.50k \le 70 \]
2) Restar el costo fijo:
\[ 0.50k \le 70 - 20 \]
\[ 0.50k \le 50 \]
3) Dividir entre 0.50 (o multiplicar por 2):
\[ k \le \frac{50}{0.50} \]
\[ k \le 100 \]
Interpretación: Se pueden recorrer hasta un máximo de 100 kilómetros. Expresado como intervalo realizable: \([0, 100]\) km (considerando que la distancia no puede ser negativa).
⚠️ Errores Comunes en Inecuaciones de Primer Grado
- Olvidar dar la vuelta al símbolo de desigualdad: Cambiar de \(-2x < 8\) a \(x < -4\) en lugar de invertir la dirección a \(x > -4\). Este es el error más recurrente en exámenes.
- Invertir el signo al mover un término sumando o restando: Cambiar el sentido de la desigualdad al pasar un número negativo sumando al otro lado (por ejemplo, transformar \(x - 5 > 2\) en \(x < 7\)). El signo solo se invierte al multiplicar o dividir por un valor negativo.
- Despejar inecuaciones dobles de forma asimétrica: Sumar o multiplicar un término únicamente en un lado de la desigualdad en lugar de aplicarlo uniformemente a los tres miembros.
Preguntas Frecuentes
¿Por qué se invierte el sentido del símbolo al multiplicar o dividir por un negativo?
Porque al multiplicar por un número negativo se invierte el orden numérico en la recta real. Por ejemplo, sabemos que \(2 < 5\). Sin embargo, si multiplicamos ambos lados por \(-1\), los valores resultantes son \(-2\) y \(-5\). En la recta real, \(-2\) está más a la derecha que \(-5\), por lo que \(-2 > -5\). Invertir la desigualdad mantiene la veracidad matemática.
¿Qué ocurre si la variable se elimina por completo en una inecuación?
Si la variable se cancela y obtienes una proposición verdadera (por ejemplo, \(3 < 7\)), la solución son todos los números reales (\(\mathbb{R}\) o \(]-\infty, +\infty[\)). Si obtienes una proposición falsa (por ejemplo, \(0 > 5\)), la inecuación no tiene solución (\(\emptyset\)).
¿Es lo mismo escribir \(x > 3\) que \(3 < x\)?
Sí, son expresiones totalmente equivalentes. Ambas indican que la variable \(x\) toma valores estrictamente mayores que 3, correspondiendo al intervalo \(]3, +\infty[\).
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