Ejercicios Resueltos de Notación Científica

Ubicamos la coma al final del número y la desplazamos hacia la izquierda hasta conseguir un coeficiente entre \( 1 \) y \( 10 \). El punto ideal es entre el \( 1 \) y el \( 3 \):

\[ 1{,}392000 \]

Contamos los espacios recorridos: la coma se movió exactamente \( 6 \) posiciones. Como es un número grande, el exponente será positivo:

\[ 1{,}392 \times 10^6 \]

Resultado final: \( 1{,}392 \times 10^6 \text{ km} \)

Desplazamos la coma hacia la derecha hasta encontrar la primera cifra significativa distinta de cero, que es el \( 7 \):

Contamos los saltos de la coma: se mueve exactamente \( 6 \) lugares hacia la derecha. Al ser un número menor que \( 1 \) (empieza con \( 0{,} \)), el exponente es negativo:

\[ 7 \times 10^{-6} \]

Resultado final: \( 7 \times 10^{-6} \text{ m} \)

El exponente es \( 4 \) (positivo), lo que nos indica que debemos hacer el número más grande moviendo la coma \( 4 \) lugares hacia la derecha:

• Los primeros 2 movimientos consumen los decimales existentes: \( 482 \).
• Los siguientes 2 movimientos se completan añadiendo ceros: \( 48.200 \).

\[ 48.200 \]

Resultado final: \( 48.200 \)

El exponente es \( -3 \) (negativo). Esto significa que el número real es muy pequeño y debemos desplazar la coma \( 3 \) lugares hacia la izquierda:

Movemos un lugar saltando al número \( 1 \), y completamos los dos lugares restantes agregando ceros a la izquierda antes de colocar la coma definitiva:

\[ 0{,}0015 \]

Resultado final: \( 0{,}0015 \)

Analizamos las reglas de la estructura. El coeficiente de la expresión es \( 34 \).

La regla matemática estricta exige que el coeficiente sea menor que \( 10 \). Dado que \( 34 > 10 \), no está correctamente escrito.

Para arreglarlo, transformamos el \( 34 \) en \( 3{,}4 \times 10^1 \) y lo unimos a la potencia original sumando exponentes:

\[ 3{,}4 \times 10^1 \times 10^5 = 3{,}4 \times 10^6 \]

Resultado final: No es válido. La forma correcta es \( 3{,}4 \times 10^6 \)

Gracias a las propiedades asociativas, podemos resolver esta operación multiplicando los coeficientes por un lado y las potencias de base diez por el otro:

• Multiplicación de coeficientes: \( 2 \times 3 = 6 \).
• Multiplicación de bases iguales (se suman exponentes): \( 10^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 \).

Unimos ambos resultados en la estructura estándar:

\[ 6 \times 10^7 \]

Resultado final: \( 6 \times 10^7 \)

Dividimos de forma totalmente independiente los coeficientes numéricos y luego aplicamos la resta de exponentes para las bases iguales:

• División de coeficientes: \( 8 \div 2 = 4 \).
• División de potencias (se restan exponentes): \( 10^9 \div 10^4 = 10^{9-4} = 10^5 \).

Ensamblamos la solución final:

\[ 4 \times 10^5 \]

Resultado final: \( 4 \times 10^5 \)

El coeficiente es \( 0{,}5 \), lo cual rompe la regla de ser mayor o igual a \( 1 \). Necesitamos rodar la coma un espacio a la derecha para tener un \( 5 \).

Convertimos el coeficiente: \( 0{,}5 = 5 \times 10^{-1} \). Ahora multiplicamos por la potencia que ya teníamos:

\[ 5 \times 10^{-1} \times 10^4 = 5 \times 10^{-1 + 4} = 5 \times 10^3 \]

Resultado final: \[ 5 \times 10^3 \]

Multiplicamos los coeficientes: \( 5 \times 4 = 20 \). Sumamos los exponentes de las bases: \( 10^6 \times 10^3 = 10^9 \).

El resultado inicial es \( 20 \times 10^9 \). Como el \( 20 \) no es un coeficiente válido, movemos la coma un lugar a la izquierda sumando \( 1 \) al exponente:

\[ 20 \times 10^9 = 2 \times 10^1 \times 10^9 = 2 \times 10^{10} \]

Resultado final: \[ 2 \times 10^{10} \]

Para comparar números en notación científica, lo primero que debemos mirar es el exponente de la base diez, ya que determina el tamaño general o escala del número.

Comparamos los exponentes: \( -3 \) es mayor que \( -4 \) en la recta numérica (\( -3 > -4 \)). Esto significa que el número con exponente \( -3 \) tiene menos ceros decimales iniciales y por lo tanto es mayor, sin importar que su coeficiente (\( 1{,}2 \)) sea menor que el otro.

Resultado final: \[ 1{,}2 \times 10^{-3} \]