Ejercicios Resueltos de Operaciones Combinadas con Potencias

Procedimiento: Primero resolvemos los paréntesis. Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia en \( (2^3)^2 \), donde los exponentes se multiplican (\( 3 \cdot 2 = 6 \)):

\[ \frac{2^6 \cdot 2^4}{2^7} \]

En el numerador tenemos una multiplicación de igual base. Mantenemos la base y sumamos los exponentes (\( 6 + 4 = 10 \)):

\[ \frac{2^{10}}{2^7} \]

Finalmente, nos queda una división de igual base. Mantenemos la base y restamos los exponentes (el de arriba menos el de abajo: \( 10 - 7 = 3 \)):

\[ 2^3 \]

Resultado: El valor simplificado es \[ 2^3 \] (Si te piden el valor final numérico, sería 8).

Procedimiento: En el numerador, notamos que tenemos bases distintas pero el mismo exponente. Aplicamos la propiedad agrupando las bases:

\[ \frac{(4 \cdot 25)^2}{10^3} \]

Resolvemos la multiplicación interna: \( 4 \cdot 25 = 100 \):

\[ \frac{100^2}{10^3} \]

Para poder dividir potencias, necesitamos que tengan la misma base. Aplicamos el truco de unificar bases: sabemos que \( 100 \) es lo mismo que \( 10^2 \). Lo sustituimos:

\[ \frac{(10^2)^2}{10^3} \]

Aplicamos potencia de una potencia en el numerador (\( 2 \cdot 2 = 4 \)):

\[ \frac{10^4}{10^3} \]

Restamos exponentes por la división (\( 4 - 3 = 1 \)):

Resultado: El valor final exacto es \[ 10 \]

Procedimiento: Atacamos primero el interior del paréntesis. Multiplicación de igual base: sumamos los exponentes \( 2 + 3 = 5 \):

\[ \frac{(x^5)^{-2}}{x^{-12}} \]

Ahora aplicamos potencia de una potencia. Multiplicamos \( 5 \cdot (-2) = -10 \):

\[ \frac{x^{-10}}{x^{-12}} \]

Nos queda una división de igual base, así que restamos el exponente del denominador al del numerador. ¡Mucho cuidado con los signos negativos! La operación es \( -10 - (-12) \), que se convierte en \( -10 + 12 = 2 \):

Resultado: La expresión simplificada es \[ x^2 \]

Procedimiento: Hay sumas y restas dividiendo la expresión en tres "bloques" o términos distintos. Los resolvemos por separado siguiendo el orden de las operaciones:

Bloque 1: \( 3^4 \div 3^2 \). Restamos exponentes: \( 3^2 = 9 \).

Bloque 2: \( 2^3 \cdot 2^0 \). Todo número elevado a cero es 1, así que es \( 2^3 \cdot 1 = 8 \).

Bloque 3: \( (5^2)^1 \). Potencia de potencia: \( 2 \cdot 1 = 2 \), nos queda \( 5^2 = 25 \).

Reescribimos la expresión original con los valores obtenidos de cada bloque:

\[ 9 + 8 - 25 \]

Sumamos y restamos de izquierda a derecha: \( 9 + 8 = 17 \). Luego \( 17 - 25 = -8 \).

Resultado: El valor final de la operación es \[ -8 \]

Procedimiento: La primera fracción tiene un exponente negativo. Para volverlo positivo, aplicamos la propiedad que invierte la fracción (el numerador pasa al denominador y viceversa):

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 \]

¡Magia! Al invertir la primera fracción, ahora ambas bases son idénticas \( \left(\frac{3}{2}\right) \). Como es una multiplicación de igual base, mantenemos la base y sumamos los exponentes (\( 2 + 3 = 5 \)):

Resultado: La expresión final es \[ \left(\frac{3}{2}\right)^5 \]

Procedimiento: Tenemos un término con base negativa: \( (-2)^4 \). Recordamos la regla de oro: toda base negativa elevada a un exponente par da un resultado positivo. Por lo tanto, \( (-2)^4 \) es exactamente lo mismo que \( 2^4 \). Hacemos el reemplazo para igualar todas las bases:

\[ \frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5} \]

En el numerador, multiplicamos potencias de igual base sumando sus exponentes (\( 4 + 3 = 7 \)):

\[ \frac{2^7}{2^5} \]

Finalmente, dividimos restando el exponente del denominador al del numerador (\( 7 - 5 = 2 \)):

\[ 2^2 \]

Resultado: El valor numérico final es \[ 4 \]

Procedimiento: Como hay sumas y restas, no podemos aplicar propiedades de agrupación de exponentes. Debemos resolver cada término individualmente:

Primer término: \( 7^0 \). Todo número distinto de cero elevado a cero es igual a \( 1 \).

Segundo término: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \). Invertimos la fracción para quitar el negativo del exponente, quedando \( \left(\frac{2}{1}\right)^2 \) o simplemente \( 2^2 \), que es igual a \( 4 \).

Tercer término: \( 3^2 = 9 \).

Reescribimos el problema con los valores calculados:

\[ 1 + 4 - 9 \]

Sumamos y restamos: \( 1 + 4 = 5 \), y luego \( 5 - 9 = -4 \).

Resultado: El valor final es \[ -4 \]

Procedimiento: Las bases son 3, 9 y 27. Para poder aplicar las propiedades, necesitamos que todas sean iguales. Descomponemos el 9 como \( 3^2 \) y el 27 como \( 3^3 \):

\[ \frac{3^4 \cdot (3^2)^2}{(3^3)^2} \]

Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia (multiplicamos los exponentes anidados) tanto en el numerador como en el denominador:

\[ \frac{3^4 \cdot 3^4}{3^6} \]

Resolvemos el numerador sumando exponentes (\( 4 + 4 = 8 \)):

\[ \frac{3^8}{3^6} \]

Finalmente, resolvemos la división restando exponentes (\( 8 - 6 = 2 \)):

Resultado: La expresión simplificada es \[ 3^2 \] (Cuyo valor es 9).

Procedimiento: Siempre que veas un decimal en problemas de potencias, pásalo a fracción. El decimal \( 0{,}2 \) equivale a \( \frac{2}{10} \), que simplificado es \( \frac{1}{5} \). Reemplazamos:

\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} \div 5^2 \]

Para eliminar el exponente negativo de la fracción, la invertimos. \( \frac{1}{5} \) se convierte en \( \frac{5}{1} \) o simplemente \( 5 \). El exponente pasa a positivo:

\[ 5^3 \div 5^2 \]

Ahora tenemos una simple división de igual base. Mantenemos el 5 y restamos los exponentes (\( 3 - 2 = 1 \)):

\[ 5^1 \]

Resultado: El valor exacto es \[ 5 \]

Procedimiento: Identificamos que las bases 4 y 8 son potencias de 2. Transformamos el problema: sabemos que \( 4 = 2^2 \) y que \( 8 = 2^3 \).

\[ \frac{(2^2)^3 \cdot (2^3)^{-1}}{2^2} \]

Aplicamos potencia de potencia multiplicando los exponentes. En el primer término \( 2 \cdot 3 = 6 \), y en el segundo término \( 3 \cdot (-1) = -3 \):

\[ \frac{2^6 \cdot 2^{-3}}{2^2} \]

Resolvemos el numerador sumando los exponentes. Ojo con los signos: \( 6 + (-3) = 3 \):

\[ \frac{2^3}{2^2} \]

Dividimos restando el exponente del denominador al del numerador (\( 3 - 2 = 1 \)):

Resultado: La reducción máxima nos da \[ 2 \]