Ejercicios Resueltos de Proporcionalidad Directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando están conectadas de tal forma que si una se duplica, se triplica o se reduce a la mitad, la otra reacciona exactamente de la misma manera.
¿Cuándo una relación es Directamente Proporcional?
Decimos que dos magnitudes varían de forma directa si al aumentar una de ellas, la otra también aumenta en la misma proporción. De igual forma, si una disminuye, la otra también disminuye.
Ejemplos cotidianos:
- A mayor cantidad de kilogramos de manzanas que compres, mayor será el dinero total que debas pagar.
- Si un auto avanza a velocidad constante, entre más horas pase viajando, más kilómetros habrá recorrido.
La Constante de Proporcionalidad Directa \( (k) \)
En este tipo de relación, si divides cualquier valor de la segunda magnitud entre su correspondiente de la primera, el resultado siempre será el mismo número fijo. A ese valor se le conoce como constante de proporcionalidad directa y cumple la siguiente fórmula matemática:
\[ k = {\Large \tfrac{y}{x}} \]
🎯 Truco de Agilidad: El método del valor unitario
Antes de plantear ecuaciones largas, calcula cuánto vale una sola unidad de lo que estás midiendo (es decir, halla la constante \( k \)). Una vez que sabes cuánto cuesta un solo objeto, cuántos kilómetros se recorren en una sola hora o cuánta pintura se gasta por metro, solo debes multiplicar ese valor unitario por la cantidad que te pida el problema.
Bloque de Práctica: 10 Casos de Proporcionalidad Directa
Ejercicio 1: Compra en el supermercado
Si \( 3 \) kilogramos de papas cuestan \( 6 \) dólares, ¿cuánto costarán \( 7 \) kilogramos del mismo tipo de papas?
Las magnitudes son directamente proporcionales porque a más kilogramos comprados, mayor será el costo. Primero calculamos el precio de un solo kilogramo (valor unitario):
\[ k = {\Large \tfrac{6}{3}} = 2 \]
Cada kilogramo cuesta \( 2 \) dólares. Ahora multiplicamos este valor constante por los \( 7 \) kilogramos que deseamos comprar:
\[ 7 \times 2 = 14 \]
Resultado final: El costo total será de \( 14 \) dólares.
Ejercicio 2: Consumo de combustible
Un automóvil consume \( 12 \) litros de gasolina para recorrer \( 150 \) kilómetros. ¿Cuántos litros necesitará para realizar un viaje de \( 450 \) kilómetros a la misma velocidad?
Planteamos la relación de proporcionalidad directa como la igualdad de dos razones:
\[ {\Large \tfrac{12}{150}} = {\Large \tfrac{x}{450}} \]
Aplicamos la regla de la diagonal: multiplicamos los datos conocidos de la diagonal cruzada y dividimos por el término restante:
\[ x = {\Large \tfrac{12 \times 450}{150}} \]
Simplificamos la operación dividiendo primero \( 450 \div 150 = 3 \), y luego multiplicamos:
\[ x = 12 \times 3 = 36 \]
Resultado final: Necesitará \( 36 \) litros de gasolina.
Ejercicio 3: Salario por horas de trabajo
Un operario gana \( 120 \) dólares por trabajar \( 8 \) horas diarias. Si un día realiza horas extras y trabaja un total de \( 11 \) horas, ¿cuánto dinero recibirá por esa jornada?
A más horas trabajadas, corresponde una mayor paga. Buscamos el valor de la ganancia por cada hora individual de labor:
\[ k = {\Large \tfrac{120}{8}} = 15 \]
El operario recibe \( 15 \) dólares por cada hora. Multiplicamos este factor por las \( 11 \) horas trabajadas en la jornada especial:
\[ 11 \times 15 = 165 \]
Resultado final: Recibirá \( 165 \) dólares.
Ejercicio 4: Adaptación de ingredientes para recetas
Una receta de pastel para \( 6 \) personas requiere \( 300 \) gramos de harina. Si se quiere preparar el mismo pastel para una fiesta de \( 15 \) personas, ¿cuánta harina se debe utilizar?
Igualamos las razones de cantidad de harina por número de porciones de comensales:
\[ {\Large \tfrac{300}{6}} = {\Large \tfrac{x}{15}} \]
Despejamos la incógnita \( x \) multiplicando los valores cruzados de la diagonal y dividiendo por el opuesto:
\[ x = {\Large \tfrac{300 \times 15}{6}} \]
Simplificamos resolviendo la división inicial \( 300 \div 6 = 50 \) y multiplicando por el factor restante:
\[ x = 50 \times 15 = 750 \]
Resultado final: Se deben utilizar \( 750 \) gramos de harina.
Ejercicio 5: Producción industrial en serie
Una máquina embotelladora logra llenar \( 240 \) botellas en \( 20 \) minutos. ¿Cuántas botellas completará si opera de forma continua durante \( 50 \) minutos?
Calculamos el rendimiento de llenado por cada minuto transcurrido (constante de la máquina):
\[ k = {\Large \tfrac{240}{20}} = 12 \]
La máquina procesa \( 12 \) botellas por minuto. Evaluamos la producción multiplicando por el lapso de tiempo propuesto:
\[ 50 \times 12 = 600 \]
Resultado final: Completará \( 600 \) botellas.
Ejercicio 6: Impresión de documentos masivos
Una impresora tarda \( 45 \) segundos en imprimir \( 15 \) páginas a color. ¿Cuántos segundos le tomará imprimir un informe largo de \( 80 \) páginas?
Planteamos la relación proporcional directa entre el tiempo requerido y el volumen de páginas impresas:
\[ {\Large \tfrac{45}{15}} = {\Large \tfrac{x}{80}} \]
Multiplicamos los términos de la diagonal numérica y dividimos por el valor que acompaña a la incógnita:
\[ x = {\Large \tfrac{45 \times 80}{15}} \]
Reducimos operando el cociente directo \( 45 \div 15 = 3 \) para simplificar el proceso mental:
\[ x = 3 \times 80 = 240 \]
Resultado final: Le tomará \( 240 \) segundos (que equivalen a \( 4 \) minutos).
Ejercicio 7: Mapas y escalas de medición
En el plano a escala de una ciudad, \( 2 \) centímetros representan \( 15 \) kilómetros reales sobre el terreno. Si la distancia medida en el mapa entre dos pueblos es de \( 6{,}4 \) centímetros, ¿cuál es la distancia real?
Establecemos la igualdad de razones conservando la relación entre los centímetros del plano y los kilómetros de la realidad:
\[ {\Large \tfrac{15}{2}} = {\Large \tfrac{x}{6{,}4}} \]
Multiplicamos en cruz los datos de la diagonal y dividimos entre el extremo restante de la proporción:
\[ x = {\Large \tfrac{15 \times 6{,}4}{2}} \]
Efectuamos el producto del numerador protegiendo la posición decimal: \( 15 \times 6{,}4 = 96 \). Dividimos para hallar la distancia real:
\[ x = {\Large \tfrac{96}{2}} = 48 \]
Resultado final: La distancia real es de \( 48 \) kilómetros.
Ejercicio 8: Copias fotostáticas
Por fotocopiar \( 60 \) páginas de un libro se pagaron \( 3 \) dólares. ¿Cuántas páginas se pueden fotocopiar si solo se cuenta con un presupuesto de \( 5 \) dólares?
Relacionamos el número de páginas con el costo monetario en una proporción directa:
\[ {\Large \tfrac{60}{3}} = {\Large \tfrac{x}{5}} \]
Buscamos la incógnita multiplicando la diagonal numérica conocida y dividiendo por la cantidad restante:
\[ x = {\Large \tfrac{60 \times 5}{3}} \]
Simplificamos efectuando la operación elemental \( 60 \div 3 = 20 \) y multiplicando por el presupuesto:
\[ x = 20 \times 5 = 100 \]
Resultado final: Se pueden fotocopiar \( 100 \) páginas.
Ejercicio 9: Peso de materiales de construcción
Un cable de acero de \( 10 \) metros de longitud tiene un peso de \( 24 \) kilogramos. ¿Cuál será el peso de un rollo del mismo cable que mide \( 35 \) metros?
A mayor longitud del cable de acero, mayor masa acumulará. Hallamos la constante de peso por cada metro lineal:
\[ k = {\Large \tfrac{24}{10}} = 2{,}4 \]
Cada metro de cable pesa \( 2{,}4 \) kilogramos. Multiplicamos esta constante por la longitud del rollo solicitado:
\[ 35 \times 2{,}4 = 84 \]
Resultado final: El peso del rollo será de \( 84 \) kilogramos.
Ejercicio 10: Sombras y alturas proyectadas
Un poste vertical de \( 4 \) metros de altura proyecta una sombra en el suelo de \( 6 \) metros de largo. En ese mismo instante, la sombra de un edificio mide \( 45 \) metros. ¿Cuál es la altura real del edificio?
Debido a que los rayos solares inciden con el mismo ángulo, la relación entre la altura del objeto y la longitud de su sombra es directamente proporcional:
\[ {\Large \tfrac{4}{6}} = {\Large \tfrac{x}{45}} \]
Despejamos la altura del edificio multiplicando la diagonal cruzada y dividiendo entre la longitud de la sombra conocida:
\[ x = {\Large \tfrac{4 \times 45}{6}} \]
Efectuamos el producto del numerador: \( 4 \times 45 = 180 \). Realizamos la división para obtener la respuesta:
\[ x = {\Large \tfrac{180}{6}} = 30 \]
Resultado final: La altura del edificio es de \( 30 \) metros.
⚠️ Errores comunes al Resolver Magnitudes Directas
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- No verificar la lógica del crecimiento: Suponer automáticamente que todos los problemas crecen en directa. Antes de operar, pregúntate siempre: "Si esta magnitud se duplica, ¿la otra también se duplicará?". Si la respuesta es no, no estás en proporcionalidad directa.
- Invertir el orden al armar las fracciones: Mezclar los conceptos poniendo los valores al revés. Si pusiste \( {\Large \frac{\text{horas}}{\text{dinero}}} \) en la primera fracción, la segunda debe mantener estrictamente el mismo orden de \( {\Large \frac{\text{horas}}{\text{dinero}}} \).
- Dividir la diagonal en lugar de multiplicar: Confundir los pasos mecánicos de la proporción y operar los números cruzados incorrectamente. Recuerda: la diagonal con dos números siempre se multiplica.
Preguntas Frecuentes
¿Cómo se representa gráficamente la proporcionalidad directa?
Si llevas los datos de una tabla de proporcionalidad directa a un plano cartesiano (ejes \( X \) e \( Y \)), los puntos siempre formarán una línea recta ascendente que inicia de manera exacta en el origen de coordenadas \( (0, 0) \).
¿Qué ocurre si la constante \( k \) es menor que 1?
No altera en absoluto el comportamiento de la proporción. Si la constante es una fracción o decimal como \( 0{,}5 \), solo indica que la segunda magnitud crece a un ritmo numérico menor que la primera, pero el equilibrio se conserva perfectamente.
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