Ejercicios Resueltos de Proporcionalidad Inversa
No todas las relaciones crecen hacia la misma dirección. En la proporcionalidad inversa, el aumento de una magnitud provoca una disminución exacta en la otra. Descubre cómo dominar este concepto.
¿Cuándo una relación es Inversamente Proporcional?
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas de forma multiplicativa (por ejemplo, al doble o al triple), la otra magnitud disminuye exactamente en la misma proporción (a la mitad o a la tercera parte).
Ejemplos cotidianos:
- Si aumentas el número de obreros para construir una barda, el tiempo necesario para terminarla disminuirá.
- Si un camión viaja a mayor velocidad para llegar a su destino, tardará menos horas en completar el trayecto.
La Constante de Proporcionalidad Inversa \( (k) \)
A diferencia de la proporcionalidad directa donde las magnitudes se dividían, en la proporcionalidad inversa las magnitudes se multiplican. Si multiplicas cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente de la segunda, obtendrás siempre el mismo número fijo:
\[ k = x \times y \]
🎯 Truco de Agilidad: El valor total acumulado
El secreto para resolver estos problemas de forma rápida es hallar el trabajo total o valor acumulado multiplicando los dos datos iniciales conocidos (es decir, la constante \( k \)). Una vez que tienes ese número total, solo debes dividirlo entre el nuevo dato que te da el problema para encontrar la respuesta directamente.
Bloque de Práctica: 10 Casos de Proporcionalidad Inversa
Ejercicio 1: Tiempo de construcción
Si \( 3 \) obreros tardan \( 12 \) horas en pintar una casa, ¿cuántas horas tardarán \( 6 \) obreros en hacer el mismo trabajo?
Es una relación inversa: a más obreros trabajando, menos tiempo les tomará. Calculamos la constante de trabajo total multiplicando los valores iniciales:
\[ k = 3 \times 12 = 36 \]
El valor total de horas-hombre requeridas es \( 36 \). Para saber cuánto tardarán los \( 6 \) obreros, dividimos ese total acumulado entre la nueva cantidad de trabajadores:
\[ {\Large \tfrac{36}{6}} = 6 \]
Resultado final: Tardarán \( 6 \) horas.
Ejercicio 2: Velocidad y tiempo de viaje
Un tren viaja a una velocidad constante de \( 80 \) kilómetros por hora y tarda \( 5 \) horas en completar su ruta. ¿Cuánto tiempo tardará si aumenta su velocidad a \( 100 \) kilómetros por hora?
A mayor velocidad, menor tiempo de viaje. Calculamos la distancia total de la ruta (nuestra constante inversa \( k \)):
\[ k = 80 \times 5 = 400 \]
La distancia fija es de \( 400 \) kilómetros. Dividimos esta constante entre la nueva velocidad planteada por el ejercicio:
\[ {\Large \tfrac{400}{100}} = 4 \]
Resultado final: Tardará \( 4 \) horas en llegar.
Ejercicio 3: Reparto de alimentos
Un granjero tiene suficiente alimento para dar de comer a sus \( 20 \) vacas durante \( 30 \) días. Si vende \( 5 \) vacas y se queda con \( 15 \), ¿para cuántos días le alcanzará el mismo alimento?
Menos vacas consumiendo significa que el alimento durará más días. Buscamos el total de raciones diarias disponibles multiplicando los valores del inicio:
\[ k = 20 \times 30 = 600 \]
Dispone de \( 600 \) raciones totales. Dividimos el almacén entre las \( 15 \) vacas que quedan en la granja:
\[ {\Large \tfrac{600}{15}} = 40 \]
Resultado final: El alimento alcanzará para \( 40 \) días.
Ejercicio 4: Llenado de depósitos con grifos
Para llenar un estanque de agua se abren \( 4 \) grifos iguales que vierten agua al mismo tiempo, logrando llenarlo en \( 18 \) minutos. Si solo abrimos \( 3 \) grifos, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?
Al reducir la cantidad de grifos de llenado, el tiempo necesario aumentará de forma inversa. Hallamos la constante multiplicativa del estanque:
\[ k = 4 \times 18 = 72 \]
Dividimos la capacidad proporcional fija entre la nueva cantidad de fuentes activas:
\[ {\Large \tfrac{72}{3}} = 24 \]
Resultado final: Tardará \( 24 \) minutos.
Ejercicio 5: Caudal de agua y tiempo
Una tubería con un caudal de \( 15 \) litros por minuto tarda \( 8 \) horas en llenar una cisterna. ¿Cuánto tiempo tardará otra tubería con un caudal de \( 20 \) litros por minuto?
Mayor cantidad de litros por minuto reduce el tiempo total de espera. Determinamos la capacidad absoluta de la cisterna en litros por hora:
\[ k = 15 \times 8 = 120 \]
Dividimos el volumen constante de la cisterna por la potencia de bombeo de la nueva tubería:
\[ {\Large \tfrac{120}{20}} = 6 \]
Resultado final: Tardará \( 6 \) horas.
Ejercicio 6: Distribución de premios
Un dinero destinado a un premio se iba a repartir en partes iguales entre \( 4 \) ganadores, recibiendo \( 150 \) dólares cada uno. Si finalmente hubo \( 5 \) ganadores, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
A mayor número de personas entre las cuales repartir una cantidad fija, menor dinero tocará por cabeza. Calculamos el monto total del fondo del premio:
\[ k = 4 \times 150 = 600 \]
El fondo total es de \( 600 \) dólares. Dividimos de forma equitativa el dinero acumulado entre las \( 5 \) personas ganadoras:
\[ {\Large \tfrac{600}{5}} = 120 \]
Resultado final: A cada uno le corresponden \( 120 \) dólares.
Ejercicio 7: Consumo de raciones en campamentos
Un grupo de \( 12 \) excursionistas tiene víveres para \( 6 \) días. Si antes de salir se suman \( 6 \) personas más al grupo, ¿cuántos días durarán los víveres?
Primero determinamos el total real de personas sumando los integrantes: \( 12 + 6 = 18 \). El problema es inverso. Hallamos el total de raciones del grupo inicial:
\[ k = 12 \times 6 = 72 \]
Dividimos el stock de comida entre la cantidad final real de excursionistas que asistirán:
\[ {\Large \tfrac{72}{18}} = 4 \]
Resultado final: Los víveres durarán \( 4 \) días.
Ejercicio 8: Embalaje de productos en cajas
Para empaquetar un lote de libros se necesitan \( 24 \) cajas si se colocan \( 10 \) libros en cada una. Si queremos usar cajas más grandes donde caben \( 15 \) libros, ¿cuántas cajas necesitaremos?
Si metemos más libros por caja, requeriremos una cantidad menor de cajas físicas. Calculamos el volumen total de libros del lote:
\[ k = 24 \times 10 = 240 \]
Tenemos \( 240 \) libros en total. Dividimos la carga de unidades por la nueva capacidad interna de almacenamiento:
\[ {\Large \tfrac{240}{15}} = 16 \]
Resultado final: Se necesitarán \( 16 \) cajas.
Ejercicio 9: Velocidad de fotocopiado
Dos fotocopiadoras idénticas tardan \( 45 \) minutos en hacer un tiraje de folletos. Si se emplean \( 3 \) fotocopiadoras con las mismas características, ¿cuánto tiempo tardarán?
Más maquinaria activa agiliza el trabajo reduciendo el tiempo de espera. Determinamos la constante de rendimiento total del proceso:
\[ k = 2 \times 45 = 90 \]
Dividimos el tiempo de manufactura de una sola máquina entre las \( 3 \) unidades que operan actualmente:
\[ {\Large \tfrac{90}{3}} = 30 \]
Resultado final: Tardarán \( 30 \) minutos.
Ejercicio 10: Dimensiones geométricas
Un rectángulo de \( 6 \) centímetros de base tiene un área determinada con una altura de \( 4 \) centímetros. Si modificamos su base para que mida \( 8 \) centímetros conservando exactamente la misma área, ¿cuánto debe medir su nueva altura?
Para conservar la misma área, si la base aumenta, la altura debe contraerse de manera inversa. Hallamos la constante de la superficie del rectángulo (área):
\[ k = 6 \times 4 = 24 \]
La superficie fija mide \( 24 \) centímetros cuadrados. Dividimos esta constante entre la nueva longitud dada para la base:
\[ {\Large \tfrac{24}{8}} = 3 \]
Resultado final: La nueva altura debe ser de \( 3 \) centímetros.
⚠️ Errores comunes al Resolver Magnitudes Inversas
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Aplicar la multiplicación en cruz por costumbre: Intentar resolver estos problemas usando la estructura de la proporcionalidad directa. Recuerda que aquí los datos que se multiplican son los que están en la misma fila horizontal, no cruzados.
- No verificar la coherencia del resultado: Si obtienes que \( 6 \) obreros tardan \( 24 \) horas en hacer un trabajo cuando \( 3 \) obreros tardaban \( 12 \), detente. ¡No tiene sentido matemático que más personas tarden más tiempo!
- Confundir la constante de proporcionalidad: Dividir los datos de la tabla en lugar de multiplicarlos. En inversa, el factor constante \( k \) siempre nace de un producto.
Preguntas Frecuentes
¿Cómo es la gráfica de una función de proporcionalidad inversa?
Si graficas los puntos en un plano cartesiano, no obtendrás una línea recta. Verás una curva descendente que se acerca a los ejes sin llegar a tocarlos nunca. Esa forma geométrica se conoce con el nombre de hipérbola equilátera.
¿Qué significa el término "reparto inversamente proporcional"?
Significa distribuir una cantidad total de manera que quien tenga el número o factor de referencia más alto reciba la parte más pequeña. Por ejemplo, en un concurso, asignarle menos minutos de penalización al participante que cometió menos errores.
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