Ejercicios Resueltos de Raíz a Exponente Fraccionario

Procedimiento: Escaneamos los componentes del radical. Identificamos que el exponente interno de la variable es 4 y el índice externo de la raíz es 3. Aplicamos la regla visual:

\[ \text{Numerador (arriba): } 4 \]

\[ \text{Denominador (abajo): } 3 \]

Armamos la estructura de la potencia manteniendo la base intacta:

\[ x^{\frac{4}{3}} \]

Resultado: La expresión transformada en potencia es \( x^{\frac{4}{3}} \).

Procedimiento: Observamos que el número 7 no muestra ningún exponente visible dentro de la raíz. En matemáticas, esto significa que su exponente real es 1 invisible (\( 7^1 \)). El índice de la raíz es 5. Trasladamos los valores:

\[ \sqrt[5]{7^1} = 7^{\frac{1}{5}} \]

Resultado: La raíz expresada con exponente fraccionario equivale a \( 7^{\frac{1}{5}} \).

Procedimiento: Cuidado con los elementos ocultos. La raíz carece de índice numérico exterior, por lo tanto, es una raíz cuadrada y su índice es un 2 invisible. El exponente de la variable es 5. Llevamos el índice al sótano:

\[ \sqrt[2]{a^5} = a^{\frac{5}{2}} \]

Resultado: Al aplicar la propiedad con los componentes invisibles, la solución es \( a^{\frac{5}{2}} \).

Procedimiento: Pasamos el exponente 6 arriba y el índice 4 al denominador abajo: \( b^{\frac{6}{4}} \). Analizamos la fracción del exponente y notamos que ambos números se pueden simplificar sacándoles la mitad:

\[ \text{Mitad de 6: } 3 \]

\[ \text{Mitad de 4: } 2 \]

Reescribimos la potencia con su fracción reducida a la mínima expresión:

\[ b^{\frac{3}{2}} \]

Resultado: Tras convertir y simplificar el exponente, obtenemos \( b^{\frac{3}{2}} \).

Procedimiento: Realizamos el proceso inverso. El exponente de la base (\( 2 \)) formará el numerador, y el índice de la raíz (\( 3 \)) se convertirá en el denominador:

\[ 5^{\frac{2}{3}} \]

Procedimiento: Convertimos la raíz dividiendo el exponente interno 9 entre el índice externo 3 de forma directa:

\[ 2^{\frac{9}{3}} \]

Efectuamos la división exacta del exponente: \( 9 \div 3 = 3 \). Esto transforma nuestra expresión en una potencia limpia y entera: \( 2^3 \). Desarrollamos: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).

Resultado: Al resolverse la fracción entera del exponente, la solución definitiva es \( 8 \).

Procedimiento: Este es el caso con más elementos ocultos en álgebra. La variable \( x \) tiene un exponente 1 invisible adentro, y el símbolo radical tiene un índice 2 invisible afuera. Aplicamos la regla de conversión:

\[ \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}} \]

Resultado: Cualquier raíz cuadrada de una variable limpia equivale siempre a elevarla a la \( x^{\frac{1}{2}} \).

Procedimiento: Primero, descomponemos el número 9 en sus factores primos para revelar su exponente interno latente: sabemos que \( 9 = 3^2 \). Reescribimos el radical con este cambio: \( \sqrt[3]{3^2} \). Ahora, aplicamos la ley del índice al sótano:

\[ 3^{\frac{2}{3}} \]

Resultado: Expresada en su base matemática más simple, la solución es \( 3^{\frac{2}{3}} \).

Procedimiento: Aunque la base sea un grupo de variables metidas en un paréntesis, el bloque se trata como una sola pieza. El exponente del bloque es 3 y el índice es 4. Pasamos el índice a dividir el techo del paréntesis:

\[ (xy)^{\frac{3}{4}} \]

Resultado: La estructura equivalente en forma de potencia es \( (xy)^{\frac{3}{4}} \).

Procedimiento: Escribimos la raíz como fracción para visualizar la reducción: \( z^{\frac{6}{10}} \). Simplificamos la fracción dividiendo ambos números entre \( 2 \):

\[ {\Large \tfrac{6 \div 2}{10 \div 2}} = {\Large \tfrac{3}{5}} \]

Resultado final: La expresión final transformada a potencia es: \[ z^{\frac{3}{5}} \]

Procedimiento: Primero unificamos los índices multiplicando \( 3 \times 2 = 6 \):

\[ \sqrt[6]{m^{12}} \]

Convertimos a exponente fraccionario para realizar la división exacta:

\[ m^{\frac{12}{6}} \]

Resultado final: \[ m^2 \]

Procedimiento: Unificamos el primer término multiplicando índices: \( \sqrt[2 \times 2]{a} = \sqrt[4]{a} \).

Ahora multiplicamos las dos raíces cuadradas que tienen el mismo índice (\( 4 \)):

\[ \sqrt[4]{a} \times \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a \times a} = \sqrt[4]{a^2} \]

Simplificamos dividiendo índice y exponente entre \( 2 \):

\[ \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \]

Resultado final: \[ a^{\frac{1}{2}} \]