Ejercicios Resueltos de Extracción de Factores de una Raíz

Descomponemos el número \( 12 \) en sus factores primos: \( 12 = 2^2 \times 3 \). Lo introducemos nuevamente bajo el radical:

\[ \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} \]

Separamos la estructura aplicando la propiedad distributiva del producto:

\[ \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} \]

El factor \( 2 \) anula su exponente con el índice cuadrado y sale de la raíz:

Resultado final: \[ 2\sqrt{3} \]

Realizamos la descomposición del radicando \( 54 \): tiene mitad (\( 27 \)), que a su vez es \( 3^3 \). Escribimos la nueva estructura:

\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} \]

Distribuimos el techo de la raíz cúbica para aislar los factores:

\[ \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{2} \]

Simplificamos el término del \( 3 \) liberándolo del radical cúbico:

Resultado final: \[ 3\sqrt[3]{2} \]

El exponente de la variable (\( 3 \)) es mayor que el índice invisible (\( 2 \)). Separamos la base en una multiplicación que contenga una potencia par perfecta:

\[ \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \times x^1} \]

Repartimos la raíz para ambos elementos algebraicos de forma independiente:

\[ \sqrt{x^2} \times \sqrt{x} \]

Resultado final: \[ x\sqrt{x} \]

Descomponemos el número \( 72 \) en primos: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \). Al ser una raíz cuadrada, agrupamos las bases en potencias de exponente \( 2 \):

\[ \sqrt{72} = \sqrt{2^2 \times 2^1 \times 3^2} \]

Distribuimos la raíz y extraemos aquellos factores que tengan el exponente cuadrado:

\[ 2 \times 3 \times \sqrt{2} \]

Multiplicamos los coeficientes que lograron salir con éxito al exterior:

Resultado final: \[ 6\sqrt{2} \]

Tomamos el exponente \( 11 \) y lo dividimos de forma entera entre el índice de la raíz \( 3 \):

• \( 11 \div 3 = 3 \) (Cociente exacto: exponente exterior).
• El residuo o resto de la operación es \( 2 \) (Exponente interior atrapado).

Armamos directamente la estructura simplificada con los valores obtenidos:

Resultado final: \[ a^3 \sqrt[3]{a^2} \]

Desglosamos tanto la parte numérica como la parte literal por separado en base al índice cuadrado:

• Número: \( 20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5 \).
• Letra: \( x^5 = x^4 \times x^1 = (x^2)^2 \times x \).

Reescribimos la expresión unificada dentro de la raíz:

\[ \sqrt{2^2 \times 5 \times x^4 \times x} \]

Extraemos el \( 2 \) y calculamos la salida de \( x^4 \) dividiendo su exponente (\( 4 \div 2 = 2 \)):

Resultado final: \[ 2x^2 \sqrt{5x} \]

Descomponemos el radicando \( 48 \) buscando potencias de exponente \( 4 \): \( 48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3 \).

\[ \sqrt[4]{2^4 \times 3} \]

Separamos la raíz cuarta de forma distributiva para liberar la base correspondiente:

Resultado final: \[ 2\sqrt[4]{3} \]

Distribuimos la raíz tanto arriba como abajo de la estructura fraccionaria:

\[ {\Large \tfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}} \]

El denominador es una raíz cuadrada perfecta exacta (\( \sqrt{9} = 3 \)). Para el numerador, descomponemos el número \( 8 \) como \( 4 \times 2 = 2^2 \times 2 \):

\[ \sqrt{8} = \sqrt{2^2 \times 2} = 2\sqrt{2} \]

Reensamblamos la fracción final con los dos elementos simplificados:

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{2\sqrt{2}}{3}} \]

El \( 5 \) exterior se queda esperando. Descomponemos el número interno \( 24 \) en factores primos cuadrados: \( 24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6 \).

\[ 5 \times \sqrt{2^2 \times 6} \]

Extraemos el \( 2 \) hacia el exterior de la raíz, donde se encuentra con el \( 5 \) multiplicando:

\[ 5 \times 2 \times \sqrt{6} \]

Resultado final: \[ 10\sqrt{6} \]

Analizamos cada una de las variables de forma independiente en relación al índice cúbico (\( 3 \)):

• La \( x^3 \) tiene exponente igual al índice: sale completa como \( x \) sin dejar residuo.
• La \( y^7 \) se divide (\( 7 \div 3 \)): cociente \( 2 \) (sale \( y^2 \)), residuo \( 1 \) (se queda \( y^1 \)).
• La \( z^2 \) tiene exponente menor que el índice \( 3 \): no puede salir y se queda intacta.

Agrupamos los componentes externos y los internos bajo su radical cúbico:

Resultado final: \[ xy^2 \sqrt[3]{yz^2} \]