Ejercicios Resueltos de Factorización de Trinomios de la Forma x² + bx + c

Paso 1: Abrir paréntesis y definir signos. Sacamos la raíz del primer término (\( \sqrt{x^2} = x \)) y la colocamos al frente de cada bloque:

\[ (x \quad )(x \quad ) \]

• Signo del primer paréntesis: Tomamos el del medio (\( + \)).
• Signo del segundo paréntesis: Multiplicamos el del medio por el del final (\( + \cdot + = + \)).

La estructura queda: \( (x + \quad )(x + \quad ) \). Como los signos son iguales, buscamos dos números que multiplicados den \( 6 \) y sumados den \( 5 \). Esos números son \( 3 \) y \( 2 \) (ya que \( 3 \cdot 2 = 6 \) y \( 3 + 2 = 5 \)). Colocamos el mayor al principio.

Resultado final: \[ (x + 3)(x + 2) \]

Paso 1: Definir signos estructurales.

• Primer signo: El del medio, que es negativo (\( - \)).
• Segundo signo: Multiplicamos el medio por el final (\( - \cdot + = - \)).

La estructura queda: \( (x - \quad )(x - \quad ) \). Al ser signos iguales, requerimos dos números que multiplicados den \( 12 \) y que sumados den \( 7 \). Los números correspondientes son \( 4 \) y \( 3 \) (\( 4 \cdot 3 = 12 \) y \( 4 + 3 = 7 \)).

Resultado final: \[ (x - 4)(x - 3) \]

Paso 1: Definir signos estructurales.

• Primer signo: El del medio (\( + \)).
• Segundo signo: Multiplicamos medio por final (\( + \cdot - = - \)).

La estructura queda: \( (x + \quad )(x - \quad ) \). Al quedar signos diferentes, buscamos dos números que multiplicados den \( 15 \) y que restados den \( 2 \). Los números son \( 5 \) y \( 3 \) (\( 5 \cdot 3 = 15 \) y \( 5 - 3 = 2 \)). Colocamos el mayor (\( 5 \)) en el primer paréntesis.

Resultado final: \[ (x + 5)(x - 3) \]

Establecemos los signos del doble paréntesis:

• Primer paréntesis: Signo del medio (\( - \)).
• Segundo paréntesis: Producto de signos (\( - \cdot - = + \)).

La estructura queda: \( (x - \quad )(x + \quad ) \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 21 \) y cuya resta sea \( 4 \). Los números mágicos son \( 7 \) y \( 3 \) (\( 7 \cdot 3 = 21 \) y \( 7 - 3 = 4 \)). El más grande va en el primer bloque.

Resultado final: \[ (x - 7)(x + 3) \]

La variable de los paréntesis iniciales siempre se obtiene extrayendo la raíz cuadrada exacta del primer término de la expresión. En este caso: \( \sqrt{x^4} = x^2 \).

Armamos la estructura con los signos correspondientes (\( - \) y luego \( - \cdot - = + \)):

\[ (x^2 - \quad )(x^2 + \quad ) \]

Buscamos dos números que multiplicados den \( 8 \) y restados den \( 2 \). Estos son el \( 4 \) y el \( 2 \).

Resultado final: \[ (x^2 - 4)(x^2 + 2) \]

Nota avanzada: El factor \( (x^2 - 4) \) es una diferencia de cuadrados perfectos. En un examen riguroso se debería desarmar como \( (x+2)(x-2)(x^2+2) \).

Buscamos dos fracciones que multiplicadas den \( {\Large \frac{1}{6}} \) y sumadas den \( {\Large \frac{5}{6}} \). Si analizamos fracciones con denominadores compatibles:

• Multiplicación: \( {\Large \frac{1}{2}} \cdot {\Large \frac{1}{3}} = {\Large \frac{1}{6}} \)
• Suma homogénea: \( {\Large \frac{1}{2}} + {\Large \frac{1}{3}} = {\Large \frac{3}{6}} + {\Large \frac{2}{6}} = {\Large \frac{5}{6}} \)

Las fracciones mágicas cumplen de forma exacta las dos condiciones. Armamos los binomios con signo positivo:

Resultado final: \[ \left(x + {\Large\tfrac{1}{2}}\right)\left(x + {\Large\tfrac{1}{3}}\right) \]

Cuando el trinomio tiene una variable al final (\( y^2 \)), simplemente distribuimos su raíz cuadrada (\( y \)) al final de cada paréntesis junto con los números mágicos:

Definimos signos: \( (x - \quad y)(x + \quad y) \).

Buscamos números que multiplicados den \( 10 \) y restados den \( 3 \). Los números son \( 5 \) y \( 2 \). Añadimos la variable correspondiente:

Resultado final: \[ (x - 5y)(x + 2y) \]

Es una trampa común de examen presentar el trinomio invertido. Primero lo reordenamos siguiendo la estructura patrón decreciente de potencias (\( x^2 + bx + c \)):

\[ x^2 - 10x + 24 \]

Determinamos los signos de los paréntesis: \( (x - \quad )(x - \quad ) \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 24 \) y sumados den \( 10 \). Los números son \( 6 \) y \( 4 \).

Resultado final: \[ (x - 6)(x - 4) \]

Definimos los signos de la estructura: \( (x - \quad )(x + \quad ) \). Necesitamos números que multiplicados den \( 50 \) y restados den \( 5 \). Si el número es grande, descomponemos el 50 en factores primos:

\[ 50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \]

Agrupamos estos factores primos para probar combinaciones: \( (2 \cdot 5) = 10 \) y el \( 5 \) restante. Evaluamos: \( 10 \cdot 5 = 50 \) y \( 10 - 5 = 5 \). Coincide perfectamente.

Resultado final: \[ (x - 10)(x + 5) \]

¡Alerta! El primer término tiene un coeficiente de \( 4 \) y una potencia cúbica, por lo que no cumple con el formato simple de forma directa. Aplicamos obligatoriamente el Paso 0 (Factor Común Monomio) ya que todos los términos se pueden dividir entre 4 y comparten la letra \( x \):

\[ 4x(x^2 - 3x - 10) \]

Ahora aislamos y factorizamos el trinomio simple contenido dentro del paréntesis: \( x^2 - 3x - 10 \). Signos: \( (x - \quad )(x + \quad ) \). Buscamos números que multiplicados den \( 10 \) y restados den \( 3 \). Estos son el \( 5 \) y el \( 2 \).

Escribimos la respuesta completa manteniendo el monomio inicial multiplicando afuera:

Resultado final: \[ 4x(x - 5)(x + 2) \]