Ejercicios Resueltos de Criterios de Divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber, de forma inmediata, si un número se puede dividir exactamente entre otro sin necesidad de realizar la operación.
Las Reglas Principales
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par (2, 4, 6, 8).
Ejemplo: El número 3.458 es divisible por 2 porque termina en 8.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
Ejemplo: 1.245 → \( 1 + 2 + 4 + 5 = 12 \). Como 12 es múltiplo de 3, el número es divisible.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.
Ejemplo: 10.750 es divisible por 5 porque termina en 0.
Divisibilidad por 9
Similar a la regla del 3: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplo: 819 → \( 8 + 1 + 9 = 18 \). Como 18 es múltiplo de 9, el número también lo es.
Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si termina exactamente en 0.
Ejemplo: 1.000 es divisible por 10 (y también por 100 y 1.000).
🎯 Trucos de Agilidad
La regla del 6: Si un número cumple la regla del 2 (es par) Y la regla del 3 (sus cifras suman múltiplo de 3), entonces es divisible por 6 automáticamente.
Suma rápida: Al sumar las cifras para el criterio del 3 o del 9, puedes ignorar los "9". Por ejemplo, para 93, solo mira el 3; para 192, solo suma \( 1 + 2 = 3 \).
Bloque de Práctica: 10 Casos de Divisibilidad
Ejercicio 1: Aplicando el criterio del 2
¿Es el número 12.457 divisible por 2?
Observamos la última cifra del número:
La última cifra es 7.
Como 7 es un número impar, el número no cumple con el criterio de divisibilidad por 2.
Resultado: No es divisible por 2.
Ejercicio 2: Suma de cifras (Regla del 3)
Comprueba si 2.511 es divisible por 3.
Sumamos todas las cifras del número:
\[ 2 + 5 + 1 + 1 = 9 \]
Como el resultado es 9, y 9 es un múltiplo de 3 (\( 3 \cdot 3 = 9 \)), el número es divisible.
Resultado: Sí, es divisible por 3.
Ejercicio 3: Terminación en 5
Sin dividir, determina si 4.565 es divisible por 5.
Aplicamos el criterio del 5: el número debe terminar en 0 o 5.
El número termina en 5.
Resultado: Sí, es divisible por 5.
Ejercicio 4: Múltiples criterios
¿Es el número 1.200 divisible por 2, 3, 5 y 10 al mismo tiempo?
Analizamos cada regla:
- Por 2: Termina en 0 (par). Sí.
- Por 3: \( 1 + 2 + 0 + 0 = 3 \). Sí.
- Por 5: Termina en 0. Sí.
- Por 10: Termina en 0. Sí.
Resultado: Sí, cumple con los cuatro criterios.
Ejercicio 5: Criterio del 9
¿Es 9.918 divisible por 9?
Sumamos sus cifras:
\[ 9 + 9 + 1 + 8 = 27 \]
Como 27 es un múltiplo de 9 (\( 9 \cdot 3 = 27 \)), el número es divisible.
Resultado: Sí, es divisible por 9.
Ejercicio 6: Números de mil y el 10
¿Es 15.003 divisible por 10?
El criterio del 10 exige que la última cifra sea 0.
La última cifra de 15.003 es 3.
Resultado: No es divisible por 10.
Ejercicio 7: El reto del 6
Determina si 1.332 es divisible por 6.
Para ser divisible por 6, debe serlo por 2 y por 3:
- ¿Por 2? Sí, termina en 2 (par).
- ¿Por 3? \( 1 + 3 + 3 + 2 = 9 \). Sí, es múltiplo de 3.
Resultado: Al cumplir ambas, es divisible por 6.
Ejercicio 8: Criterio del 3 en números grandes
¿Es 123.456 divisible por 3?
Sumamos sus cifras:
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \]
Como 21 es múltiplo de 3 (\( 3 \cdot 7 = 21 \)), el número es divisible.
Resultado: Sí, es divisible por 3.
Ejercicio 9: Encontrar la cifra faltante
¿Qué valor debe tener la "X" para que 45X sea divisible por 9?
La suma de cifras debe ser 9 o múltiplo de 9:
\[ 4 + 5 + X = 9 + X \]
Para que la suma sea un múltiplo de 9, el valor más pequeño de X es 0 o 9.
Resultado: X puede ser 0 (formando 450) o 9 (formando 459).
Ejercicio 10: Combinación compleja
¿Es 2.250 divisible por 2, 3 y 5?
Comprobamos los tres criterios:
- Por 2: Termina en 0. (Sí)
- Por 3: \( 2 + 2 + 5 + 0 = 9 \). (Sí)
- Por 5: Termina en 0. (Sí)
Resultado: Sí, es divisible por los tres.
⚠️ Errores Frecuentes al usar los criterios
No caigas en estas trampas:
- Confundir la regla del 3 con la del 2: Muchos alumnos creen que si un número termina en 3 es divisible por 3. ¡Error! El 13 termina en 3 y no es divisible. Siempre debes sumar las cifras.
- Olvidar el 0 en la regla del 5: Recuerda que si termina en 0, es divisible por 5 y por 10.
- Sumar mal las cifras: En números muy grandes, es común equivocarse en la suma. Haz la suma dos veces para estar seguro.
Preguntas Frecuentes
¿Existe un criterio para el número 7?
Sí existe, pero es tan complejo (separar la última cifra, multiplicarla por 2 y restarla al resto) que a veces es más rápido hacer la división directamente.
¿Si un número es divisible por 9, lo es por 3?
Sí, siempre. Como 9 es múltiplo de 3, cualquier número que cumpla la regla del 9 cumplirá automáticamente la del 3. Pero no siempre ocurre al revés.
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