Ejercicios Resueltos de Descomposición en Factores Primos
Descomponer un número en factores primos (o factorizar) consiste en escribir dicho número como un producto de números primos. Es como desarmar un juguete para ver qué piezas lo forman.
El Método de la Raya Vertical
Para factorizar de forma ordenada, trazamos una línea vertical. A la izquierda escribimos el número y a la derecha el número primo más pequeño que lo divida exactamente.
Ejemplo: Para el número 12, dividimos por 2 (da 6), luego por 2 (da 3) y finalmente por 3 (da 1). Resultado: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \).
Es fundamental seguir estas reglas de oro:
- Solo puedes usar números primos en la columna derecha (2, 3, 5, 7, 11...).
- Debes continuar dividiendo hasta que en la columna de la izquierda aparezca un 1.
- Para escribir el resultado final, agrupa los números repetidos usando potencias.
🎯 Trucos de Agilidad
El truco del 10: Si un número termina en 0 (como el 150), sabes que es divisible por \( 2 \cdot 5 \). Puedes poner ambos directamente para ahorrar tiempo.
Usa los criterios: Antes de probar un número primo, aplica los criterios de divisibilidad que ya conoces (si es par usa el 2, si sus cifras suman múltiplo de 3 usa el 3).
Bloque de Práctica: 10 Casos de Descomposición de Números
Ejercicio 1: Factorizar el número 24
Realiza la descomposición en factores primos de 24.
Dividimos sucesivamente por los primos más pequeños:
- \( 24 \div 2 = 12 \)
- \( 12 \div 2 = 6 \)
- \( 6 \div 2 = 3 \)
- \( 3 \div 3 = 1 \)
El 2 aparece 3 veces y el 3 una vez.
Resultado: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
Ejercicio 2: Factorizar el número 45
Descompón el número 45 en factores primos.
Como no es par, probamos con el 3:
- \( 45 \div 3 = 15 \)
- \( 15 \div 3 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Ejercicio 3: El número 100
Halla los factores primos de 100.
Aplicamos las divisiones:
- \( 100 \div 2 = 50 \)
- \( 50 \div 2 = 25 \)
- \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 100 = 2^2 \cdot 5^2 \)
Ejercicio 4: Factorizar 180
Descompón el número 180.
Proceso paso a paso:
- \( 180 \div 2 = 90 \)
- \( 90 \div 2 = 45 \)
- \( 45 \div 3 = 15 \)
- \( 15 \div 3 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Ejercicio 5: Factorizar el número 210
Descompón 210 en sus factores primos.
Este número tiene varios factores diferentes:
- \( 210 \div 2 = 105 \)
- \( 105 \div 3 = 35 \)
- \( 35 \div 5 = 7 \)
- \( 7 \div 7 = 1 \)
Resultado: \( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
Ejercicio 6: Factorizar 450
¿Cuál es la descomposición de 450?
- \( 450 \div 2 = 225 \)
- \( 225 \div 3 = 75 \)
- \( 75 \div 3 = 25 \)
- \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
Ejercicio 7: Números de mil (1.000)
Factoriza el número 1.000.
Como 1.000 es \( 10 \cdot 10 \cdot 10 \), esperamos potencias de 2 y 5:
- \( 1.000 \div 2 = 500 \)
- \( 500 \div 2 = 250 \)
- \( 250 \div 2 = 125 \)
- \( 125 \div 5 = 25 \)
- \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 1.000 = 2^3 \cdot 5^3 \)
Ejercicio 8: Factorizar 1.260
Halla la descomposición de 1.260.
- \( 1.260 \div 2 = 630 \)
- \( 630 \div 2 = 315 \)
- \( 315 \div 3 = 105 \)
- \( 105 \div 3 = 35 \)
- \( 35 \div 5 = 7 \)
- \( 7 \div 7 = 1 \)
Resultado: \( 1.260 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
Ejercicio 9: El número 2.500
Factoriza 2.500.
Aplicamos el método:
- \( 2.500 \div 2 = 1.250 \)
- \( 1.250 \div 2 = 625 \)
- \( 625 \div 5 = 125 \)
- \( 125 \div 5 = 25 \)
- \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
Resultado: \( 2.500 = 2^2 \cdot 5^4 \)
Ejercicio 10: Reto con 5.040
Descompón el número 5.040 en factores primos.
Aunque el número es grande, el proceso es el mismo:
- \( 5.040 \div 2 = 2.520 \)
- \( 2.520 \div 2 = 1.260 \)
- \( 1.260 \div 2 = 630 \)
- \( 630 \div 2 = 315 \)
- \( 315 \div 3 = 105 \)
- \( 105 \div 3 = 35 \)
- \( 35 \div 5 = 7 \)
- \( 7 \div 7 = 1 \)
Resultado: \( 5.040 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
⚠️ Errores comunes al descomponer números
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Usar números compuestos: Un error común es dividir por 4, 6 o 9. Recuerda que a la derecha de la raya solo pueden ir números primos.
- Saltarse el orden: Aunque no es obligatorio, empezar siempre por el primo más pequeño (2, luego 3...) ayuda a no olvidar ningún factor.
- Olvidar el exponente: No escribas \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \). Para que tu profesor vea que dominas el tema, usa potencias: \( 2^3 \).
Preguntas Frecuentes
¿Todos los números se pueden factorizar?
Sí, según el Teorema Fundamental de la Aritmética, cualquier número mayor que 1 puede expresarse de forma única como un producto de números primos.
¿Qué pasa si el número es primo?
Su descomposición es el propio número. Por ejemplo, la factorización de 17 es simplemente 17.
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