Ejercicios Resueltos de Operaciones Combinadas con Fracciones
Resolver operaciones combinadas requiere orden y paciencia. El secreto no está en saber mucha matemática, sino en respetar estrictamente la jerarquía de las operaciones.
La Regla de Oro: El Orden de Prioridad
Para no equivocarte, siempre debes resolver en este orden:
- 1. Paréntesis: Lo que esté dentro de los corchetes o paréntesis va primero.
- 2. Multiplicación y División: De izquierda a derecha.
- 3. Suma y Resta: Es lo último que se hace.
Ejemplo rápido: En la operación \( {\Large \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}} \), primero debes hacer la multiplicación y al final la suma.
🎯 Truco: Simplifica en cada paso
No esperes al final para simplificar. Si en un paso intermedio obtienes \( {\Large \frac{10}{20}} \), conviértelo en \( {\Large \frac{1}{2}} \) inmediatamente. Trabajar con números pequeños reduce un 80% las probabilidades de error.
Bloque de Práctica: 10 Casos de Operaciones Combinadas de Fracciones
Ejercicio 1: Suma y Multiplicación
Calcula: \( {\Large \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}} \)
Primero la multiplicación:
\[ {\Large \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{20} = \tfrac{3}{10}} \]
Ahora sumamos a la primera fracción (buscando denominador común 10):
\[ {\Large \tfrac{2}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{5}{10}} \]
Simplificamos por 5. El resultado es:
\[ {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 2: Uso de Paréntesis
Resuelve: \( {\Large \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \cdot \frac{6}{5}} \)
Primero el paréntesis (m.c.m. de 2 y 3 es 6):
\[ {\Large \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{5}{6}} \]
Ahora multiplicamos por la fracción exterior:
\[ {\Large \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{6}{5}} = {\Large \tfrac{30}{30}} = 1 \]
Ejercicio 3: Multiplicación y División
Calcula: \( {\Large \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} : \frac{1}{2}} \)
Operamos de izquierda a derecha. Primero la multiplicación:
\[ {\Large \tfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \tfrac{6}{12} = \tfrac{1}{2}} \]
Ahora dividimos (en cruz):
\[ {\Large \tfrac{1}{2} : \tfrac{1}{2}} = {\Large \tfrac{2}{2}} = 1 \]
Ejercicio 4: Resta con Paréntesis
Calcula: \( 1 - {\Large \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right)} \)
Paréntesis primero (m.c.m. = 4):
\[ {\Large \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{4}} \]
Restamos al entero: \[ {\Large \tfrac{4}{4} - \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{4}} \]
Ejercicio 5: El número entero mezclado
Resuelve: \( {\Large \frac{2}{3} } : 2 + {\Large \frac{1}{6}} \)
Primero la división (cruzada):
\[ {\Large \tfrac{2}{3} : \tfrac{2}{1} = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}} \]
Ahora sumamos: \[ {\Large \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{3}{6}} \]
Simplificamos por 3. El resultado es:
\[ {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 6: Multiplicación y Resta
Resuelve la siguiente operación: \( {\Large \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{8}} \)
Siguiendo la jerarquía, primero realizamos la multiplicación:
\[ {\Large \tfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \tfrac{3}{8}} \]
Ahora restamos la fracción restante:
\[ {\Large \tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{2}{8}} \]
Simplificamos dividiendo entre 2:
\[ {\Large \tfrac{1}{4}} \]
Ejercicio 7: Paréntesis con Resta
Calcula el resultado de: \( {\Large \frac{5}{6} : \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)} \)
Primero resolvemos el paréntesis buscando el m.c.m. de 2 y 3 (que es 6):
\[ {\Large \tfrac{3}{6} - \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{6}} \]
Ahora realizamos la división multiplicando en cruz:
\[ {\Large \tfrac{5}{6} : \tfrac{1}{6} = \tfrac{5 \cdot 6}{6 \cdot 1} = \tfrac{30}{6}} \]
Dividimos 30 entre 6:
\[ {\Large \tfrac{30}{6}} = 5 \]
Ejercicio 8: Tres Fracciones y un Entero
Resuelve: \( 2 - {\Large \frac{1}{3}} \cdot {\Large \frac{6}{5}} \)
La multiplicación tiene prioridad sobre la resta:
\[ {\Large \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{6}{5} = \tfrac{6}{15} = \tfrac{2}{5}} \]
Ahora restamos al entero (convertimos 2 en \( \tfrac{10}{5} \)):
\[ {\Large \tfrac{10}{5} - \tfrac{2}{5} = \tfrac{8}{5}} \]
Ejercicio 9: Doble Paréntesis
Calcula: \( \left( {\Large \frac{1}{2}} + {\Large \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( 1 - {\Large \frac{1}{3}} \right) \)
Resolvemos el primer paréntesis (m.c.m. = 4):
\[ {\Large \tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}} \]
Resolvemos el segundo paréntesis:
\[ {\Large \tfrac{3}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}} \]
Multiplicamos ambos resultados:
\[ {\Large \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{6}{12}} \]
Simplificamos por 6. El resultado es:
\[ {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 10: Reto de Jerarquía Total
Calcula el valor de: \( {\Large \frac{3}{10} + \frac{1}{2} : \frac{5}{4}} \)
Primero realizamos la división (multiplicación en cruz):
\[ {\Large \tfrac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \tfrac{4}{10} = \tfrac{2}{5}} \]
Ahora sumamos a la primera fracción (m.c.m. = 10):
\[ {\Large \tfrac{3}{10} + \tfrac{4}{10} = \tfrac{7}{10}} \]
Resultado final: \[ {\Large \tfrac{7}{10}} \]
⚠️ Errores comunes al sumar números
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Ignorar el orden: El error más grave es sumar antes de multiplicar. ¡La jerarquía es ley!
- Olvidar el m.c.m. en las sumas: Aunque haya multiplicaciones antes, cuando llegues a la suma, necesitas denominador común.
- No simplificar pasos intermedios: Trabajar con fracciones como \( \tfrac{48}{96} \) es el camino directo al error.
Preguntas Frecuentes
¿Qué hago si hay paréntesis dentro de otros paréntesis?
Se resuelven de adentro hacia afuera. Primero los paréntesis ( ), luego los corchetes [ ] y finalmente las llaves { }.
¿La jerarquía es la misma con números negativos?
Sí, la jerarquía de operaciones no cambia. Solo debes tener cuidado adicional con la regla de los signos al multiplicar y dividir.
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