Problemas Resueltos de Aplicación con Fracciones
¿Cómo saber si hay que sumar, multiplicar o dividir? En esta sección aprenderás a traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje de las fracciones para resolver cualquier reto.
Claves para identificar la operación
En los problemas de fracciones, ciertas palabras clave te indican qué camino tomar:
- "De" o "Del": Suele indicar una multiplicación. Por ejemplo, la mitad de la tercera parte es \( {\Large \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \).
- "Repartir" o "Distribuir": Indica una división.
- "Lo que queda": Indica que primero debes restar la fracción usada a la unidad.
Bloque de Práctica: 10 Casos de Problemas de Aplicación con Fracciones
Problema 1: El depósito de agua
Un depósito de agua tiene una capacidad de 1.200 litros. Si se han consumido los \( {\Large \frac{2}{5}} \) del total, ¿cuántos litros quedan en el depósito?
Primero calculamos cuántos litros se han consumido multiplicando la fracción por el total:
\[ {\Large \tfrac{2}{5}} \cdot 1.200 = {\Large \tfrac{2.400}{5}} = 480 \text{ litros} \]
Ahora restamos el consumo a la capacidad total para saber cuánto queda:
\[ 1.200 - 480 = 720 \text{ litros} \]
Resultado final: Quedan 720 litros.
Problema 2: Reparto de pizza
Para una fiesta se compran 6 pizzas. Si cada invitado come \( {\Large \frac{3}{4}} \) de pizza, ¿para cuántos invitados alcanza?
Debemos dividir el total de pizzas entre la porción que come cada invitado:
\[ 6 : {\Large \tfrac{3}{4} = \tfrac{6 \cdot 4}{3} = \tfrac{24}{3}} \]
Realizamos la división final:
\[ {\Large \tfrac{24}{3}} = 8 \]
Resultado final: Alcanza para 8 invitados.
Problema 3: El sueldo y los gastos
Juan gasta \( {\Large \frac{1}{3}} \) de su sueldo en alquiler y \( {\Large \frac{1}{4}} \) en comida. ¿Qué fracción de su sueldo le queda libre?
Sumamos las fracciones de los gastos buscando el denominador común (12):
\[ {\Large \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}} \]
Para saber lo que queda, restamos esa fracción a la unidad (el sueldo completo):
\[ {\Large \tfrac{12}{12} - \tfrac{7}{12} = \tfrac{5}{12}} \]
Resultado final: Le queda libre \( {\Large \frac{5}{12}} \) de su sueldo.
Problema 4: Fracción de lo que queda
En una biblioteca, \( {\Large \frac{2}{3}} \) de los libros son de literatura. Del resto, \( {\Large \frac{1}{2}} \) son de matemáticas. ¿Qué fracción del total representan los libros de matemáticas?
Si \( {\Large \frac{2}{3}} \) son de literatura, el resto es:
\[ 1 - {\Large \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}} \]
Ahora calculamos la mitad de ese resto multiplicando:
\[ {\Large \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}} \]
Resultado final: Los libros de matemáticas son \( {\Large \frac{1}{6}} \) del total.
Problema 5: Kilómetros recorridos
Un coche ha recorrido 150 km, lo que representa los \( {\Large \frac{3}{5}} \) de su trayecto total. ¿Cuántos kilómetros mide el trayecto completo?
Sabemos que 3 partes del trayecto equivalen a 150 km. Primero hallamos cuánto mide una sola parte:
\[ 150 : 3 = 50 \text{ km} \]
Como el trayecto completo son 5 partes, multiplicamos:
\[ 50 \cdot 5 = 250 \text{ km} \]
Resultado final: El trayecto total es de 250 km.
Problema 6: La herencia compartida
Una persona deja en herencia \( {\Large \frac{2}{3}} \) de su fortuna a su hijo mayor y \( {\Large \frac{1}{4}} \) al menor. ¿Qué fracción de la herencia se ha repartido en total?
Para hallar el total repartido, debemos sumar ambas fracciones buscando el m.c.m. de 3 y 4 (que es 12):
\[ {\Large \tfrac{8}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{11}{12}} \]
Resultado final: Se ha repartido el \( {\Large \frac{11}{12}} \) de la herencia.
Problema 7: Botellas de refresco
¿Cuántas botellas de \( {\Large \frac{3}{4}} \) de litro se pueden llenar con un bidón de 15 litros?
Dividimos la capacidad total del bidón entre la capacidad de cada botella:
\[ 15 : {\Large \tfrac{3}{4} = \tfrac{15 \cdot 4}{3} = \tfrac{60}{3}} \]
Realizamos la división:
\[ 60/3 = 20 \]
Resultado final: Se pueden llenar 20 botellas.
Problema 8: Lectura de un libro
Ana ha leído ya 120 páginas de un libro, lo que supone los \( {\Large \frac{2}{5}} \) del total. ¿Cuántas páginas tiene el libro en total?
Si 2 partes son 120 páginas, primero calculamos cuánto es 1 parte:
\[ 120 : 2 = 60 \text{ páginas} \]
Como el libro completo son 5 partes, multiplicamos el valor de una parte por 5:
\[ 60 \cdot 5 = 300 \text{ páginas} \]
Resultado final: El libro tiene 300 páginas.
Problema 9: El huerto de hortalizas
En un huerto de 400 metros cuadrados, se plantan \( {\Large \frac{1}{4}} \) de tomates y \( {\Large \frac{2}{5}} \) de lechugas. ¿Cuántos metros cuadrados quedan libres?
Primero sumamos las fracciones plantadas buscando el denominador común (20):
\[ {\Large \tfrac{5}{20} + \tfrac{8}{20} = \tfrac{13}{20}} \]
Calculamos los metros cuadrados ocupados:
\[ {\Large \tfrac{13}{20}} \cdot 400 = {\Large \tfrac{5.200}{20}} = 260 \text{ m}^2 \]
Restamos al total para saber el espacio libre:
\[ 400 - 260 = 140 \text{ m}^2 \]
Resultado final: Quedan libres 140 metros cuadrados.
Problema 10: Deporte en el colegio
En una clase, \( {\Large \frac{3}{5}} \) de los alumnos practican fútbol. De los que no juegan fútbol, \( {\Large \frac{1}{2}} \) juegan baloncesto. ¿Qué fracción del total juega baloncesto?
Calculamos primero quiénes no juegan fútbol (el resto):
\[ 1 - {\Large \tfrac{3}{5}} = {\Large \tfrac{2}{5}} \]
De ese resto, la mitad juega baloncesto (multiplicamos):
\[ {\Large \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{10}} \]
Simplificamos el resultado dividiendo entre 2:
\[ {\Large \tfrac{1}{5}} \]
Resultado final: El \( {\Large \frac{1}{5}} \) del total de la clase juega baloncesto.
⚠️ Errores comunes en problemas de fracciones
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- No identificar el total: Muchos errores vienen de no saber sobre qué cantidad se aplica la fracción. Lee siempre si es sobre el "total" o sobre "lo que queda".
- Sumar sin denominador común: En problemas de reparto, es vital igualar denominadores antes de juntar las partes.
- Confundir fracción con cantidad: Recuerda que \( {\Large \frac{1}{2}} \) no es lo mismo que "media unidad" si estamos hablando de un depósito de 1.000 litros. ¡Son 500 litros!
Preguntas Frecuentes
¿Cuándo se debe multiplicar en un problema?
Multiplicamos cuando necesitamos calcular una fracción de una cantidad o una "fracción de otra fracción" (ejemplo: la mitad de la tercera parte).
¿Qué significa "el resto"?
Es la cantidad que falta para completar el total. Matemáticamente se obtiene restando la fracción que ya conocemos a la unidad (1).
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