Ejercicios Resueltos de Cambio de Base en Logaritmos
¿Tu calculadora solo tiene las teclas log y ln? La fórmula de cambio de base es la herramienta clave que te permite convertir cualquier logaritmo a base 10 o base e. En esta lección aprenderás a evaluar logaritmos no estándar, resolver expresiones con decimales y utilizar tu calculadora científica sin cometer errores de tipeo en los exámenes.
La Fórmula Fundamental del Cambio de Base
Las calculadoras científicas estándar solo cuentan con dos bases predeterminadas: la base 10 (tecla \(\log\)) y la base \(e\) (tecla \(\ln\)). Para calcular un logaritmo con cualquier otra base \(b\), dividimos el logaritmo del argumento entre el logaritmo de la base original expresados en la nueva base elegida \(c\):
\[ \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \]
Las dos formas más utilizadas en la calculadora:
• Usando Logaritmos Decimales (Base 10): \[\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}\]
• Usando Logaritmos Naturales (Base \(e\)): \[\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\]
¡EL ORDEN IMPORTA! El argumento original (\(a\)) siempre va en el logaritmo del numerador (arriba) y la base antigua (\(b\)) siempre pasa al argumento del logaritmo en el denominador (abajo). Un error muy común es escribirlos al revés en la calculadora.
🎯 Paso a Paso para Teclear en la Calculadora
Para calcular \(\log_4(20)\) en cualquier calculadora científica estándar:
- Presiona la tecla
log(oln). - Ingresa el argumento:
20y cierra paréntesis. - Presiona la tecla de división:
÷. - Presiona la tecla
log(oln) e ingresa la base:4. - Presiona
=. Obtendrás aproximadamente2,161.
📝 Bloque de Práctica: 10 Ejercicios de Cambio de Base
Ejercicio 1: Cálculo con Resultado Exacto
Calcula el valor del siguiente logaritmo aplicando cambio de base a base 5:
\[ \log_{125}(625) \]
Procedimiento: Observamos que tanto el 125 como el 625 son potencias exactas de 5. Elegimos la nueva base \(c = 5\):
\[ \log_{125}(625) = \frac{\log_5(625)}{\log_5(125)} \]
Calculamos cada término por separado: \(\log_5(625) = 4\) y \(\log_5(125) = 3\).
Resultado: El valor exacto es \[ {\Large \tfrac{4}{3}} \]
Ejercicio 2: Uso de Calculadora con Logaritmo Decimal
Calcula con aproximación a tres decimales el valor de:
\[ \log_3(15) \]
Procedimiento: Como 15 no es potencia exacta de 3, usamos cambio de base a logaritmos decimales (base 10):
\[ \log_3(15) = \frac{\log(15)}{\log(3)} \]
Evaluamos en la calculadora: \(\log(15) \approx 1{,}1761\) y \(\log(3) \approx 0{,}4771\).
Dividimos ambos valores: \(\frac{1{,}1761}{0{,}4771} \approx 2{,}465\).
Resultado: \[ \log_3(15) \approx 2{,}465 \]
Ejercicio 3: Comprobación con Logaritmo Natural (Base e)
Demuestra que calcular \(\log_5(20)\) da el mismo resultado utilizando \(\ln\) que utilizando \(\log\):
Camino A (usando logaritmo decimal):
\[ \frac{\log(20)}{\log(5)} = \frac{1{,}3010}{0{,}69897} \approx 1{,}861 \]
Camino B (usando logaritmo natural):
\[ \frac{\ln(20)}{\ln(5)} = \frac{2{,}9957}{1{,}6094} \approx 1{,}861 \]
Resultado: En ambos casos se obtiene el mismo valor \[ 1{,}861 \]
Ejercicio 4: Simplificación de Producto de Logaritmos
Calcula el valor exacto del siguiente producto sin usar calculadora:
\[ \log_3(5) \cdot \log_5(9) \]
Procedimiento: Convertimos ambos logaritmos a una base común (por ejemplo, base 10) usando la fórmula:
\[ \left(\frac{\log(5)}{\log(3)}\right) \cdot \left(\frac{\log(9)}{\log(5)}\right) \]
Simplificamos el término \(\log(5)\) que está en el numerador y en el denominador:
\[ \frac{\log(9)}{\log(3)} = \log_3(9) \]
Como \(3^2 = 9\), evaluamos el logaritmo simplificado.
Resultado: El valor final es \[ 2 \]
Ejercicio 5: Base Fraccionaria a Entera
Calcula el valor exacto de:
\[ \log_{\frac{1}{2}}(16) \]
Procedimiento: Convertimos a base 2 para facilitar los cálculos con potencias enteras:
\[ \log_{\frac{1}{2}}(16) = \frac{\log_2(16)}{\log_2(\frac{1}{2})} \]
Sabemos que \(\log_2(16) = 4\) y que \(\log_2(\frac{1}{2}) = -1\):
\[ {\Large \tfrac{4}{-1}} = -4 \]
Resultado: El valor exacto es \[ -4 \]
Ejercicio 6: Expresión con Incógnitas
Expresa \(\log_a(b)\) en términos de logaritmos en base \(b\):
Procedimiento: Aplicamos cambio de base eligiendo como nueva base a \(b\):
\[ \log_a(b) = \frac{\log_b(b)}{\log_b(a)} \]
Dado que \(\log_b(b) = 1\), simplificamos el numerador:
Resultado final: \[ \log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)} \]
Ejercicio 7: Logaritmo Decimal con Argumento Decimal
Resuelve con calculadora aproximando a 4 decimales:
\[ \log_7(0{,}25) \]
Procedimiento: Aplicamos la fórmula de cambio de base con logaritmo común:
\[ \log_7(0{,}25) = \frac{\log(0{,}25)}{\log(7)} \]
Evaluamos: \(\log(0{,}25) \approx -0{,}60206\) y \(\log(7) \approx 0{,}84510\).
Dividimos el resultado negativo por el positivo:
Resultado final: \[ \log_7(0{,}25) \approx -0{,}7124 \]
Ejercicio 8: Cociente de Logaritmos a Un Solo Logaritmo
Expresa la siguiente fracción como un solo logaritmo de base única:
\[ \frac{\ln(50)}{\ln(2)} \]
Procedimiento: Aplicamos la fórmula de cambio de base en sentido inverso. El argumento del denominador (2) pasa a ser la nueva base, y el argumento del numerador (50) pasa a ser el argumento principal:
Resultado final: \[ \log_2(50) \]
Ejercicio 9: Base Grande no Estándar
Calcula el valor aproximado de \(\log_{12}(1000)\):
Procedimiento: Aplicamos cambio de base decimal:
\[ \log_{12}(1000) = \frac{\log(1000)}{\log(12)} \]
Sabemos que \(\log(1000) = 3\) exactamente. Con la calculadora hallamos \(\log(12) \approx 1{,}07918\):
\[ \frac{3}{1{,}07918} \approx 2{,}7798 \]
Resultado: \[ \log_{12}(1000) \approx 2{,}780 \]
Ejercicio 10: Cadena Compleja de Cambio de Base
Demuestra que la siguiente cadena de multiplicaciones es igual a 1:
\[ \log_2(3) \cdot \log_3(4) \cdot \log_4(2) \]
Procedimiento: Pasamos todos los términos a logaritmos naturales (\(\ln\)):
\[ \left(\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\right) \cdot \left(\frac{\ln(4)}{\ln(3)}\right) \cdot \left(\frac{\ln(2)}{\ln(4)}\right) \]
Cancelamos los factores repetidos en numeradores y denominadores (\(\ln(3)\), \(\ln(4)\) y \(\ln(2)\)):
Resultado: Todos los términos se simplifican dando exactamente \[ 1 \]
⚠️ Errores Comunes al Usar Cambio de Base
- Invertir el orden en la calculadora: Dividir la base entre el argumento (\(\frac{\log(\text{base})}{\log(\text{argumento})}\)) en lugar de dividir el argumento entre la base (\(\frac{\log(\text{argumento})}{\log(\text{base})}\)).
- Olvidar cerrar paréntesis en la calculadora: Al presionar
log(15/log(3))sin cerrar el paréntesis del primer número, la calculadora interpretará \(\log\left(\frac{15}{\log(3)}\right)\), dando un resultado totalmente erróneo. - Mezclar bases al cambiar: Usar \(\log\) en el numerador y \(\ln\) en el denominador (por ejemplo, \(\frac{\log(15)}{\ln(3)}\)). Ambos logaritmos deben utilizar exactamente la misma base.
Preguntas Frecuentes
¿Da lo mismo usar la tecla LOG o la tecla LN para cambiar de base?
Sí, da exactamente el mismo resultado. Lo único importante es que utilices la misma tecla tanto para el numerador como para el denominador. La relación de proporción entre ambas funciones se mantiene idéntica.
¿Cómo calculo un logaritmo si mi calculadora no tiene la tecla de cambio de base directa?
Usa la regla simple: presiona LOG, escribe el número grande (argumento), cierra paréntesis, presiona ÷, presiona LOG, escribe el número subíndice (base), cierra paréntesis y presiona =.
¿Por qué la base no puede ser 1 en la fórmula de cambio de base?
Porque el logaritmo de 1 en cualquier base es 0 (\(\log(1) = 0\)). Si la nueva base fuera 1, el denominador de la fórmula se convertiría en cero, provocando una división por cero indefinida en matemáticas.
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