Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Logarítmicas
¿Qué hacer cuando la incógnita "x" se encuentra atrapada dentro de un logaritmo? Resolver ecuaciones logarítmicas no consiste en adivinar, sino en aplicar las propiedades para unificar la expresión y pasarla a su equivalente exponencial. En esta lección aprenderás el método paso a paso para despejar cualquier ecuación logarítmica y evitar el gran peligro de los exámenes: las soluciones falsas que invalidan el dominio.
El Método General de Resolución
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la variable o incógnita aparece dentro del argumento de uno o más logaritmos. Para resolverlas correctamente se sigue una estrategia clara de tres pasos:
- Unificar los logaritmos: Utiliza las propiedades (suma a producto, resta a cociente) para concentrar todos los términos logarítmicos en un solo bloque a un lado de la igualdad.
- Pasar a forma exponencial: Aplica la definición fundamental para eliminar el símbolo de logaritmo y liberar la ecuación algebraica. \[\log_b(A) = C \iff b^C = A\]
- Verificar obligatoriamente las soluciones: Reemplaza los valores de \(x\) obtenidos en los argumentos originales. Si un valor hace que el argumento sea negativo o cero, se debe descartar inmediatamente.
¡EL PELIGRO DE LAS SOLUCIONES EXTRAÑAS! Al elevar al cuadrado o multiplicar argumentos en el proceso algebraico, es común que aparezcan soluciones cuadráticas negativas. Recuerda que no existen logaritmos de números negativos ni de cero en los números reales. La comprobación final no es opcional: es parte del ejercicio.
🎯 Truco de Agilidad: Igualdad de Logaritmos
Si logras estructurar la ecuación de forma que tengas un único logaritmo con la misma base a ambos lados del signo igual, por ejemplo \(\log_b(A) = \log_b(B)\), puedes "cancelar" los logaritmos directamente e igualar sus argumentos: \(A = B\). ¡Es la vía más rápida para despejar sin pasar a exponentes!
📝 Bloque de Práctica: 10 Ecuaciones Logarítmicas Resueltas
Ejercicio 1: Ecuación Logarítmica Directa
Resuelve la siguiente ecuación despejando la incógnita \(x\):
\[ \log_2(x + 3) = 4 \]
Paso 1. Aplicamos la definición exponencial convertida a base 2:
\[ x + 3 = 2^4 \]
Paso 2. Resolvemos la potencia \(2^4 = 16\) y despejamos la variable:
\[ x + 3 = 16 \]
\[ x = 16 - 3 \implies x = 13 \]
Paso 3. Verificación: Evaluamos en el argumento original:
\[x + 3 = 13 + 3 = 16 > 0 \quad \text{(válido)} \]
Solución: \[ x = 13 \]
Ejercicio 2: Suma de Logaritmos con Igual Base
Encuentra el valor de \(x\) que satisface la igualdad:
\[ \log_3(x) + \log_3(2) = 3 \]
Paso 1. Aplicamos la propiedad del producto para unificar la suma en un solo logaritmo:
\[ \log_3(2x) = 3 \]
Paso 2. Convertimos a forma exponencial:
\[ 2x = 3^3 \implies 2x = 27 \]
Paso 3. Despejamos la incógnita dividiendo entre 2:
\[ x = {\Large \tfrac{27}{2}} \]
Verificación: El argumento \(x = \frac{27}{2}\) es positivo (válido).
Solución: \[ x = 13{,}5 \text{ (o } \tfrac{27}{2}\text{)} \]
Ejercicio 3: Resta de Logaritmos (Ecuación con Cociente)
Resuelve la ecuación logarítmica:
\[ \log(x + 6) - \log(x) = 1 \]
Paso 1. Unificamos la resta en una división de argumentos (recordando que la base es 10):
\[ \log\left(\frac{x + 6}{x}\right) = 1 \]
Paso 2. Pasamos a la forma exponencial de base 10:
\[ \frac{x + 6}{x} = 10^1 \implies \frac{x + 6}{x} = 10 \]
Paso 3. Pasamos la \(x\) multiplicando y resolvemos el despeje lineal:
\[ x + 6 = 10x \implies 6 = 9x\]
\[ \implies x = {\Large \tfrac{6}{9}} = {\Large \tfrac{2}{3}} \]
Verificación: Ambos argumentos (\(\frac{2}{3}\) y \(\frac{2}{3}+6\)) son mayores que cero.
Solución: \[ x = {\Large \tfrac{2}{3}} \]
Ejercicio 4: Igualdad Directa de Logaritmos
Halla la solución de la ecuación:
\[ \log_5(2x - 1) = \log_5(x + 4) \]
Paso 1. Al tener logaritmos de la misma base en ambos miembros de la ecuación, igualamos directamente los argumentos:
\[ 2x - 1 = x + 4 \]
Paso 2. Agrupamos términos semejantes:
\[ 2x - x = 4 + 1 \]
\[ \implies x = 5 \]
Verificación: Para \(x = 5\), el argumento izquierdo es \(2(5)-1 = 9\) y el derecho es \(5+4 = 9\). Ambos son positivos e iguales.
Solución: \[ x = 5 \]
Ejercicio 5: Ecuación que Deriva en una Cuadrática con Descarte
Resuelve la ecuación y analiza sus soluciones:
\[ \log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3 \]
Paso 1. Unificamos la suma en un producto de argumentos:
\[ \log_2[x(x - 2)] = 3 \]
Paso 2. Pasamos a forma exponencial:
\[ x(x - 2) = 2^3 \implies x^2 - 2x = 8 \]
Paso 3. Igualamos a cero y factorizamos el trinomio resultante:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \]
Obtenemos dos candidatos: \(x_1 = 4\) y \(x_2 = -2\).
Paso 4. Verificación obligatoria:
- Para \(x = 4\): \(\log_2(4)\) y \(\log_2(2)\) existen y son positivos. (VÁLIDO)
- Para \(x = -2\): \(\log_2(-2)\) NO existe en los números reales. (SE DESCARTA)
Solución: \[ x = 4 \]
Ejercicio 6: Coeficiente Multiplicativo en el Logaritmo
Resuelve la siguiente expresión:
\[ 2\log(x) = \log(36) \]
Paso 1. Subimos el coeficiente 2 como exponente del argumento aplicando la propiedad de la potencia:
\[ \log(x^2) = \log(36) \]
Paso 2. Igualamos los argumentos al tener la misma base decimal:
\[ x^2 = 36\]
\[ x = \pm\sqrt{36} \implies x = \pm 6 \]
Paso 3. Verificación: El argumento original era \(\log(x)\). Si sustituimos \(x = -6\), obtenemos un argumento negativo. Por tanto, descartamos la raíz negativa.
Solución: \[ x = 6 \]
Ejercicio 7: Ecuación con Logaritmo Natural
Despeja la variable \(x\) en la ecuación neperiana:
\[ \ln(2x - 1) = 0 \]
Paso 1. Pasamos a forma exponencial usando la base \(e\):
\[ 2x - 1 = e^0 \]
Paso 2. Recordamos que cualquier número no nulo elevado a cero es 1:
\[ 2x - 1 = 1\]
\[ 2x = 2 \implies x = 1 \]
Verificación: \(2(1) - 1 = 1 > 0\) (válido).
Solución: \[ x = 1 \]
Ejercicio 8: Ecuación con Cambio de Variable
Resuelve la ecuación de tipo cuadrático:
\[ (\log_2(x))^2 - 3\log_2(x) + 2 = 0 \]
Paso 1. Hacemos un cambio de variable dejando \(u = \log_2(x)\):
\[ u^2 - 3u + 2 = 0 \]
Paso 2. Factorizamos el trinomio:
\[ (u - 2)(u - 1) = 0 \implies u_1 = 2, \quad u_2 = 1 \]
Paso 3. Volvemos a la variable original para despejar \(x\):
- Si \(\log_2(x) = 2 \implies x = 2^2 = 4\)
- Si \(\log_2(x) = 1 \implies x = 2^1 = 2\)
Verificación: Ambos valores (\(x=4\) y \(x=2\)) son positivos e independientes en el dominio.
Soluciones: \[ x_1 = 4, \quad x_2 = 2 \]
Ejercicio 9: Incógnita Ubicada en la Base del Logaritmo
Encuentra el valor de la base \(x\) en la expresión:
\[ \log_x(49) = 2 \]
Paso 1. Convertimos a la ecuación exponencial correspondiente:
\[ x^2 = 49 \]
\[ x = \pm\sqrt{49} \]
\[ x = \pm 7 \]
Paso 2. Verificación de restricciones de base: La base de un logaritmo debe ser estrictamente positiva y diferente de 1 (\(x > 0, x \neq 1\)). Por lo tanto, el resultado negativo \(-7\) queda anulado.
Solución: \[ x = 7 \]
Ejercicio 10: Ecuación Logarítmica con Términos Mixtos
Resuelve la siguiente ecuación:
\[ \log_4(x + 1) + \log_4(x - 1) = {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Paso 1. Unificamos los dos logaritmos del lado izquierdo usando el producto (diferencia de cuadrados):
\[ \log_4[(x + 1)(x - 1)] = {\Large \tfrac{1}{2}} \]
\[ \log_4(x^2 - 1) = {\Large \tfrac{1}{2}} \]
Paso 2. Pasamos a forma exponencial:
\[ x^2 - 1 = 4^{\frac{1}{2}} \]
Recordamos que elevar a \(\frac{1}{2}\) equivale a la raíz cuadrada: \(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\).
\[ x^2 - 1 = 2 \implies x^2 = 3 \]
\[ \implies x = \pm\sqrt{3} \]
Paso 3. Verificación: Al sustituir \(x = -\sqrt{3} \approx -1{,}732\), el argumento \((x - 1)\) daría un valor negativo. Se descarta la raíz negativa.
Solución: \[ x = \sqrt{3} \]
⚠️ Errores Comunes en Ecuaciones Logarítmicas
- Cancelar logaritmos en una suma sin unificarlos primero: Escribir erróneamente que \(\log(A) + \log(B) = C \implies A + B = C\). Es obligatorio multiplicar primero los argumentos: \(\log(A \cdot B) = C \implies A \cdot B = 10^C\).
- No comprobar el dominio de las soluciones: Aceptar raíces negativas obtenidas en el proceso algebraico sin verificar si anulan o hacen negativo el argumento original.
- Confundir \(\log(x^2)\) con \((\log x)^2\): En el primer caso se baja el exponente como coeficiente (\(2\log x\)); en el segundo se requiere utilizar un cambio de variable cuadrático.
Preguntas Frecuentes
¿Qué hago si la ecuación tiene logaritmos con bases diferentes?
Antes de intentar unificar o cancelar logaritmos, debes convertir todos los términos a una base común utilizando la fórmula de cambio de base \(\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}\). Normalmente se recomienda pasar todo a base decimal o natural.
¿Por qué debemos descartar siempre las soluciones que hacen el argumento cero o negativo?
Porque la función logarítmica solo está definida en el conjunto de los números reales para valores estrictamente mayores que cero (\(x > 0\)). Un argumento cero o negativo da como resultado una operación indefinida.
¿Se pueden resolver ecuaciones logarítmicas usando calculadoras científicas?
Las calculadoras sirven para evaluar el resultado final o calcular logaritmos exactos, pero la simplificación de las propiedades y el despeje algebraico del dominio debe realizarse paso a paso a mano.
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