Ejercicios Resueltos de Propiedades de Logaritmos
Las propiedades de los logaritmos son las herramientas algebraicas que te permiten simplificar expresiones complejas, transformar multiplicaciones en sumas y resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente. En esta lección aprenderás a dominar las leyes del producto, cociente, potencia y cambio de base con ejemplos claros paso a paso.
Las Reglas Fundamentales de los Logaritmos
Dado que los logaritmos son exponentes, heredan directamente las leyes de la potenciación. Estas propiedades nos permiten expandir una expresión compleja o comprimir varios logaritmos en uno solo.
1. Propiedad del Producto (Suma de Logaritmos)
El logaritmo de una multiplicación de factores se transforma en la suma de los logaritmos individuales de cada factor:
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]
2. Propiedad del Cociente (Resta de Logaritmos)
El logaritmo de una división o fracción equivale a la resta entre el logaritmo del numerador y el del denominador:
\[ \log_b\left({\Large \tfrac{x}{y}}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) \]
3. Propiedad de la Potencia (Bajar el Exponente)
El exponente del argumento de un logaritmo puede salir "multiplicando al frente" del bloque logarítmico:
\[ \log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x) \]
4. Propiedad del Cambio de Base (División de Logaritmos)
El logaritmo puede transformarse en una fracción cuyo numerador es el logaritmo del argumento y denominador es el logaritmo de la base, ambos de base arbitraria "c":
\[ \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \]
5. Logaritmos Notables
El logaritmo de uno es siempre cero, y el logaritmo cuya base y argumento son iguales es siempre uno:
\[ \log_b(1) = 0 \quad | \quad \log_b(b) = 1 \]
\[ \log(10) = 1 \quad | \quad \ln(e) = 1 \]
¡LA GRAN TRAMPA DE EXAMEN! Un error clásico es intentar distribuir un logaritmo sobre una suma. La expresión \(\log_b(x + y)\) NO es igual a \(\log_b(x) + \log_b(y)\). La suma de logaritmos proviene exclusivamente del producto en el argumento.
🎯 Truco de Agilidad: Comprimir antes de Calcular
Si te piden resolver \(\log_2(80) - \log_2(5)\), no intentes calcular cada valor por separado porque ninguno es exacto. Aplica la propiedad del cociente en sentido inverso unificando en una sola resta: \(\log_2\left(\frac{80}{5}\right) = \log_2(16)\). Como \(2^4 = 16\), ¡obtienes inmediatamente que el resultado es 4!
📝 Bloque de Práctica: 10 Casos de Propiedades de Logaritmos
Ejercicio 1: Aplicación Directa de la Propiedad del Producto
Comprime la siguiente suma en un solo logaritmo y calcula su valor final:
\[ \log_6(4) + \log_6(9) \]
Procedimiento: Ambas expresiones comparten la misma base 6. Aplicamos la propiedad del producto combinando los argumentos en una multiplicación:
\[ \log_6(4 \cdot 9) = \log_6(36) \]
Buscamos el exponente que satisface la ecuación \(6^x = 36\):
Resultado: \[ 2 \]
Ejercicio 2: Aplicación Directa de la Propiedad del Cociente
Simplifica la siguiente resta de logaritmos:
\[ \log_3(54) - \log_3(2) \]
Procedimiento: Al tener la misma base 3 y estar restando, unificamos los argumentos en una división:
\[ \log_3\left( {\Large \tfrac{54}{2}}\right) = \log_3(27) \]
Calculamos el valor de la potencia \(3^x = 27\):
Resultado: La solución exacta es \[ 3 \]
Ejercicio 3: Bajando Exponentes con la Propiedad de la Potencia
Simplifica la siguiente expresión expresándola en términos de \(\log_2(x)\):
\[ \log_2(x^5) \]
Procedimiento: La propiedad de la potencia nos indica que el exponente del argumento pasa a multiplicar al frente del logaritmo:
\[ \log_2(x^5) = 5 \cdot \log_2(x) \]
Resultado: La expresión simplificada es \[ 5\log_2(x) \]
Ejercicio 4: Combinando Producto y Exponente
Expande por completo la siguiente expresión logarítmica:
\[ \log(100x^3) \]
Procedimiento: Separamos la multiplicación interna de los factores 100 y \(x^3\) en una suma de logaritmos:
\[ \log(100) + \log(x^3) \]
Resolvemos el logaritmo numérico \(\log_{10}(100) = 2\) y aplicamos la propiedad de la potencia en el segundo término:
Resultado: La expresión expandida es \[ 2 + 3\log(x) \]
Ejercicio 5: Logaritmo de una Raíz
Calcula el valor simplificado del siguiente logaritmo expresando el radical como potencia:
\[ \log_5(\sqrt[3]{25}) \]
Procedimiento: Transformamos el radical en un exponente fraccionario:
\[\sqrt[3]{25} = 25^{\frac{1}{3}}\]
Escribimos la expresión y bajamos el exponente al frente:
\[ \log_5\left(25^{\frac{1}{3}}\right) = {\Large \tfrac{1}{3}} \cdot \log_5(25) \]
Como \(\log_5(25) = 2\), multiplicamos por la fracción: \(\frac{1}{3} \cdot 2\).
Resultado: El valor final es \[ {\Large \tfrac{2}{3}} \]
Ejercicio 6: Expresión con Fracción y Variables
Expande la expresión algebraica aplicando las reglas de cociente y potencia:
\[ \log_b\left(\frac{a^2}{c^4}\right) \]
Procedimiento: Convertimos la división de los argumentos en una resta de logaritmos:
\[ \log_b(a^2) - \log_b(c^4) \]
Bajamos los exponentes de cada argumento multiplicando adelante:
Resultado final: \[ 2\log_b(a) - 4\log_b(c) \]
Ejercicio 7: De Forma Expandida a un Solo Logaritmo
Reduce la siguiente combinación de términos a un único logaritmo:
\[ 3\log(x) + 2\log(y) - \log(z) \]
Procedimiento: Subimos los coeficientes que están multiplicando como exponentes de sus argumentos:
\[ \log(x^3) + \log(y^2) - \log(z) \]
Unificamos la suma como producto y la resta como división dentro del argumento:
Resultado final: \[ \log\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right) \]
Ejercicio 8: Cambio de Base
Calcula el valor del logaritmo utilizando cambio de base a logaritmo decimal:
\[ \log_8(32) \]
Procedimiento: Aplicamos la fórmula de cambio de base eligiendo base 2 (la base común de 8 y 32):
\[ \log_8(32) = \frac{\log_2(32)}{\log_2(8)} \]
Calculamos los logaritmos exactos del numerador y denominador: \(\log_2(32) = 5\) y \(\log_2(8) = 3\).
Resultado final: \[ {\Large \tfrac{5}{3}} \]
Ejercicio 9: Potencia de una Base Eleva a su Propio Logaritmo
Simplifica directamente la siguiente expresión:
\[ 7^{\log_7(15)} \]
Procedimiento: Por la identidad fundamental que vincula las potencias y logaritmos como funciones inversas, se cumple que \(b^{\log_b(x)} = x\).
La base de la potencia (7) y la base del logaritmo (7) se cancelan mutuamente dejando libre al argumento.
Resultado: El valor simplificado es \[ 15 \]
Ejercicio 10: Simplificación Mixta con Múltiples Propiedades
Reduce el valor numérico de la expresión:
\[ \log_2(12) + \log_2(8) - \log_2(3) \]
Procedimiento: Combinamos los tres términos en un solo logaritmo. Los que suman van al numerador (multiplicando) y los que restan van al denominador (dividiendo):
\[ \log_2\left( {\Large \tfrac{12 \cdot 8}{3}}\right) \]
Realizamos las operaciones aritméticas dentro del argumento: \(12 \div 3 = 4\), luego \(4 \cdot 8 = 32\):
\[ \log_2(32) \]
Calculamos la potencia final sabiendo que \(2^5 = 32\).
Resultado: La solución final es \[ 5 \]
⚠️ Errores Comunes con Propiedades de Logaritmos
- Distribuir el logaritmo en una suma: Escribir erróneamente \(\log(a + b) = \log(a) + \log(b)\). Recuerda que la propiedad correcta junta productos, no sumas: \(\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)\).
- Confundir la resta de logaritmos con la división de logaritmos: Creer que \(\log(a) - \log(b)\) es igual a \(\frac{\log(a)}{\log(b)}\). La forma correcta es \(\log\left(\frac{a}{b}\right)\). La división de dos logaritmos separados representa un cambio de base.
- Mover el exponente de todo el logaritmo en lugar del argumento: Confundir \([\log(x)]^2\) con \(\log(x^2)\). La propiedad de la potencia solo aplica cuando el exponente afecta directamente al argumento dentro del paréntesis.
Preguntas Frecuentes
¿Se pueden aplicar las propiedades si los logaritmos tienen bases diferentes?
No directamente. Para aplicar las propiedades del producto, cociente o potencia, todos los logaritmos deben compartir exactamente la misma base. Si las bases son distintas, primero debes utilizar la fórmula de cambio de base para unificarlas.
¿Qué ocurre si el resultado de una simplificación da un logaritmo negativo?
El resultado de un logaritmo (el exponente) sí puede ser un número negativo. Por ejemplo, \(\log_2(0.5) = -1\). Lo que nunca puede ser negativo o cero es el argumento ni la base del logaritmo.
¿Para qué sirve realmente la fórmula de cambio de base?
Sirve principalmente para evaluar logaritmos con bases no estándar en calculadoras científicas (que solo cuentan con botones para base 10 e \(\ln\)), y para simplificar ecuaciones algebraicas con bases incompatibles.
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