Ejercicios Resueltos de Potencias con Exponente Fraccionario

Procedimiento: Identificamos el papel de cada parte de la fracción del exponente:

• El numerador 3 se queda como el exponente normal de la base x.
• El denominador 5 se convierte en el índice de la raíz.

Construimos la estructura matemática exacta correspondiente:

\[ \sqrt[5]{x^3} \]

Resultado: La potencia se transforma en la raíz \( \sqrt[5]{x^3} \).

Procedimiento: Transformamos la potencia fraccionaria en raíz. El 2 del denominador sale como índice (raíz cuadrada) y el 1 se queda adentro.

\[ 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{49^1} \]

Recuerda que el índice 2 y el exponente 1 no se escriben porque son invisibles. La expresión es simplemente la raíz cuadrada de 49:

\[ \sqrt{49} = 7 \]

Resultado: Al resolver la raíz, la respuesta final es \( 7 \).

Procedimiento: Pasamos la expresión a su forma radical colocando el 3 como índice de la raíz:

\[ (\sqrt[3]{27})^2 \]

Aplicamos nuestro truco de agilidad mental (raíz primero): calculamos la raíz cúbica de 27, que es 3 (porque \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)). Luego, elevamos ese resultado al cuadrado:

\[ 3^2 \]

Resultado: El valor final de la expresión es \( 9 \).

Procedimiento: Ejecutamos el truco a la inversa. El número de abajo en la fracción (3) es el que sale a convertirse en el índice de la raíz. El número de arriba (2) se queda acompañando al 5 en el interior:

\[ 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} \]

Para dejar la expresión completamente resuelta, desarrollamos la potencia interna básica: \( 5 \times 5 = 25 \).

Resultado: Expresada en forma de radical puro, la respuesta es \( \sqrt[3]{25} \).

Procedimiento: El 3 en el denominador se convierte en el índice de una raíz cúbica, manteniendo el paréntesis protector de la base negativa:

\[ \sqrt[3]{-8} \]

Buscamos un número que multiplicado por sí mismo tres veces nos dé -8. Ese número es -2, ya que \( (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \).

Resultado: La solución exacta es \( -2 \).

Procedimiento: Antes de armar la raíz, miramos la fracción del exponente. Como es \( {\Large \frac{4}{8}} \), podemos simplificarla dividiendo el numerador y el denominador por 4:

\[ {\Large \tfrac{4 \div 4}{8 \div 4}} = {\Large \tfrac{1}{2}} \]

Ahora nuestra expresión es \( a^{\frac{1}{2}} \), la cual transformamos directamente usando la regla de conversión.

Resultado: Reducido a su mínima expresión radical es \( \sqrt{a} \).

Procedimiento: El exponente tiene un signo menos. Antes de tocar la fracción, debemos eliminar ese negativo invirtiendo la base (enviando todo el bloque al denominador de una fracción con un 1 arriba):

\[ \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} \]

Ahora que el exponente es positivo, transformamos el denominador en raíz cuadrada: \( 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 \).

Resultado: Al reconstruir la fracción, la respuesta final es \( {\Large \frac{1}{4}} \).

Procedimiento: Por las leyes de las potencias, cuando multiplicamos bases iguales, conservamos la base y sumamos los exponentes directamente:

\[ x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} \]

Como las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores de forma directa: \( 1 + 4 = 5 \).

Resultado: La expresión unificada es \( x^{\frac{5}{3}} \).

Procedimiento: La regla de potencia de una potencia nos obliga a multiplicar los exponentes. Multiplicamos la fracción por el número entero:

\[ b^{\frac{3}{2} \cdot 4} = b^{\frac{12}{2}} \]

Simplificamos la fracción del exponente dividiendo 12 entre 2, lo cual nos da un número entero exacto: \( 12 \div 2 = 6 \).

Resultado: La expresión se reduce limpiamente a \( b^6 \).

Procedimiento: En la división de potencias de igual base, conservamos la base y restamos el exponente del denominador al exponente de arriba:

\[ y^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} \]

Restamos los numeradores manteniendo el denominador común: \( 3 - 1 = 2 \), obteniendo \( y^{\frac{2}{4}} \). Simplificamos la fracción dividiendo por 2 arriba y abajo para llegar a \( {\Large \frac{1}{2}} \).

Resultado: La expresión final simplificada es \[ y^{\frac{1}{2}} \text{ (o en su forma radical, } \sqrt{y}\text{)} \]

Procedimiento: Resolvemos primero lo que está atrapado dentro del paréntesis convirtiendo cada potencia en su raíz correspondiente:

\[ 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2 \text{ (ya que } 2^5 = 32 \text{)} \]

\[ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \]

Multiplicamos los dos resultados obtenidos dentro del paréntesis: \( 2 \cdot 2 = 4 \).

Finalmente, aplicamos el exponente 3 que esperaba afuera del paréntesis al número obtenido: \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \).

Resultado: El valor final del ejercicio es \( 64 \).

Procedimiento: Primero convertimos el decimal \( 0{,}25 \) en su fracción equivalente: \( {\Large \frac{1}{4}} \).

Transformamos la potencia de exponente fraccionario en una raíz:

\[ 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} \]

Buscamos el número que multiplicado cuatro veces por sí mismo sea \( 81 \):

Resultado final: \[ 3 \]