Ejercicios Resueltos de Conversión de Decimales Periódicos a Fracción
A diferencia de los decimales exactos, los números periódicos tienen infinitas cifras decimales. Para convertirlos en fracción, necesitamos usar el método de los nueves y ceros.
Los Dos Métodos de la Fracción Generatriz
Caso 1: Periódico Puro (Ejemplo: 0,333...)
Tienen el período justo después de la coma. Su fracción se arma así:
- Numerador: El número completo sin coma ni barra menos la parte entera.
- Denominador: Tantos nueves (9) como cifras tenga el período.
Caso 2: Periódico Mixto (Ejemplo: 0,1666...)
Tienen un "anteperíodo" (números que no se repiten) antes del período. Su fracción se arma así:
- Numerador: El número completo (hasta el primer periodo completo) sin coma, menos la parte no periódica (entero + anteperíodo).
- Denominador: Tantos nueves (9) como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo.
🎯 Truco Mnemotécnico: El 9 repite, el 0 estira
Para acordarte de los denominadores piensa esto: El 9 representa el desorden del bucle infinito (período), por eso va abajo de lo que se repite. El 0 es plano y estira el número sin repetirse (anteperíodo), por eso va al final.
Bloque de Práctica: 10 Casos de Conversión Decimal a Periódico
Ejercicio 1: Periódico puro básico
Calcula la fracción generatriz de: \( 0{,}\overline{3} \)
Arriba restamos el número completo (3) menos la parte entera (0). Abajo ponemos un 9 porque el período tiene una sola cifra:
\[ {\Large \tfrac{3 - 0}{9}} = {\Large \tfrac{3}{9}} \]
Simplificamos dividiendo entre 3:
\[ {\Large \tfrac{1}{3}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{1}{3}} \)
Ejercicio 2: Periódico puro con dos cifras
Pasa a fracción el número: \( 0{,}\overline{45} \)
El período tiene dos cifras (45), por lo tanto colocamos dos nueves en el denominador:
\[ {\Large \tfrac{45}{99}} \]
Simplificamos dividiendo entre 9:
\[ {\Large \tfrac{5}{11}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{5}{11}} \)
Ejercicio 3: Periódico puro con parte entera
Halla la fracción generatriz de: \( 1{,}\overline{6} \)
Restamos al número completo (16) su parte entera (1). Ponemos un 9 abajo:
\[ {\Large \tfrac{16 - 1}{9}} = {\Large \tfrac{15}{9}} \]
Simplificamos dividiendo por 3:
\[ {\Large \tfrac{5}{3}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{5}{3}} \)
Ejercicio 4: Periódico mixto básico
Transforma en fracción el decimal mixto: \( 0{,}1\overline{6} \)
Numerador: Todo el número (16) menos la parte no periódica (1). Denominador: un 9 por el período y un 0 por el anteperíodo:
\[ {\Large \tfrac{16 - 1}{90}} = {\Large \tfrac{15}{90}} \]
Simplificamos dividiendo directamente entre 15:
\[ {\Large \tfrac{1}{6}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{1}{6}} \)
Ejercicio 5: Periódico mixto con anteperíodo largo
Convierte a fracción irreducible: \( 0{,}25\overline{3} \)
Restamos el número entero menos la parte que no se repite (25). Abajo van un 9 y dos ceros (900):
\[ {\Large \tfrac{253 - 25}{900}} = {\Large \tfrac{228}{900}} \]
Simplificamos dividiendo consecutivamente entre 2 y luego entre 3 (o directamente entre 12):
\[ {\Large \tfrac{19}{75}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{19}{75}} \)
Ejercicio 6: Periódico mixto con parte entera
Halla la fracción generatriz de: \( 2{,}1\overline{4} \)
Numerador: El número completo (214) menos la parte no periódica (21). Denominador: un 9 y un 0 (90):
\[ {\Large \tfrac{214 - 21}{90}} = {\Large \tfrac{193}{90}} \]
Como 193 es un número primo, la fracción ya no se puede simplificar más.
Resultado final: \( {\Large \frac{193}{90}} \)
Ejercicio 7: Periódico puro con parte entera alta
Pasa a fracción irreducible: \( 3{,}\overline{18} \)
Restamos el número completo (318) menos la parte entera (3). Abajo ponemos 99:
\[ {\Large \tfrac{318 - 3}{99}} = {\Large \tfrac{315}{99}} \]
Simplificamos dividiendo ambos términos entre 9:
\[ {\Large \tfrac{35}{11}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{35}{11}} \)
Ejercicio 8: Periódico mixto con periodo de dos cifras
Convierte a fracción el número: \( 0{,}2\overline{35} \)
Numerador: 235 menos la parte no periódica (2). Denominador: dos nueves y un cero (990):
\[ {\Large \tfrac{235 - 2}{990}} = {\Large \tfrac{233}{990}} \]
La fracción es irreducible porque no comparten divisores comunes.
Resultado final: \( {\Large \frac{233}{990}} \)
Ejercicio 9: El caso del período 9
Calcula de forma exacta: \( 0{,}\overline{9} \)
Aplicamos la regla matemática estándar del periódico puro:
\[ {\Large \tfrac{9 - 0}{9}} = {\Large \tfrac{9}{9}} = 1 \]
Matemáticamente, \( 0{,}999... \) se aproxima tanto a 1 que su valor real exacto es la unidad.
Resultado final: 1
Ejercicio 10: Reto mixto completo
Halla la fracción del número: \( 1{,}0\overline{12} \)
Numerador: 1.012 menos la parte que no se repite (10). Denominador: dos nueves y un cero (990):
\[ {\Large \tfrac{1.012 - 10}{990}} = {\Large \tfrac{1.002}{990}} \]
Simplificamos dividiendo consecutivamente entre 6:
\[ {\Large \tfrac{167}{165}} \]
Resultado final: \( {\Large \frac{167}{165}} \)
⚠️ Errores comunes al convertir decimales a números periódicos
Incluso los estudiantes avanzados pueden cometer fallos sencillos. Aquí te listamos los más frecuentes para que los evites:
- Usar potencias de 10 por error: Poner un 100 en lugar de un 99 abajo de un periódico puro. Recuerda: si lleva la línea horizontal arriba, requiere nueves de forma obligatoria.
- No restar la parte entera en el numerador: Al resolver \( 2{,}\overline{3} \), poner \( {\Large \frac{23}{9}} \) olvidando restar el 2. El planteamiento correcto siempre resta: \( {\Large \frac{23-2}{9}} \).
- Confundir el orden de ceros y nueves: En el denominador mixto, los 9 van siempre primero a la izquierda y los 0 después a la derecha (ej. 900, nunca 009).
Preguntas Frecuentes
¿Por qué se ponen nueves en el denominador en lugar de ceros?
Es el resultado de un sistema algebraico de ecuaciones. Al restar las infinitas cifras decimales del número para eliminarlas, la base numérica de división se reduce en una unidad, transformando el 10 en un 9.
¿Qué significa el término "Fracción Generatriz"?
Es simplemente el nombre matemático formal que se le da a la fracción original que "genera" o da como resultado ese número decimal específico al realizar la división.
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